Question

Uma turma de alunos do 1º ano da EFOMM temaulas às segundas, quartas e sextas, de 8h40 às10h20 e de 10h30 às 12h. As matérias sãoArquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada umacom duas aulas semanais, em dias diferentes. Dequantos modos pode ser feito o horário dessaturma?( a ) 9.( b ) 18.( c ) 36.( d ) 48.( e ) 54.

Answer 1

P(n) = n!
P(n) ⇒ Permutação de n fatores distintos;
"!" ⇒ Fatorial;

A(n,p) = n!/(n-p)!

A(n,p) ⇒ Arranjo de n fatores em p "espaços" (ordem importa)...

C(n,p) = n! / ((n-p)! * p!)

C(n,p) ⇒ Combinação de n fatores em p "espaços" (ordem não importa)...
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Temos três dias e três duplas de aulas. Sabendo que as aulas da mesma matéria não podem cair juntas, eu  pensei assim, chegando nisto  
Resposta ⇒ C(3,2) * A(3,3) * (P(2))³ = 48 :

Vamos calcular as duplas de aulas válidas :
Primeiramente, por dia, haverá dois horários (p = 2) para 3 aulas possíveis (n = 3). Vamos combinar essas 3 aulas para 2 horários (e só depois acrescentar a permutação que cada combinação pode ter internamente).

C(3,2) = 3!/((3-2)!*2!)

C(3,2) = 3!/(1!*2!)

C(3,2) = 3 * 2! / 2!

C(3,2) = 3 combinações possíveis, sendo :

AN e I;
I e C;
C e AN...

Já excluímos as combinações de aulas com aulas de mesma matéria seguidas !

Note que eu ainda não adicionei a permutação (não estou contando ainda a ordem).

Agora, vamos arranjar essas três combinações (n = 3) nos 3 dias possíveis (p = 3) :

A(3,3) = 3!/(3-3)!

A(3,3) = 3! / 0! ⇒ Fatorial de zero = 1 

A(3,3) = 3! / 1

A(3,3) = 3!

A(3,3) = 6 possibilidades de horários (incompletamente !)...

Ainda temos que permutar internamente os horários. Cada dupla pode ser permutada de 2! formas. Temos o seguinte panorama : 

Segunda |   Quarta   | Sexta
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Dupla "x" | Dupla "y" | Dupla "z" ⇒ Aplicando a permutação :
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     P(2)    *     P(2)    *   P(2)
 
Logo, temos que adicionar à nossa conta (P(2))³ permutações (Cada permutação interna multiplicada).

6 * (P(2))³ = 

6 * (2!)³ =

6 * 2³ =

6 * 8 = 
 
48 horários possíveis !