Question

Como faço essa questão: Somatorio de n=1 ao + infinito de: (-1)^n+1 vezes 3
/
2^n

Answer 1

$\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{(n+1)}\frac{3}{2^n}}$
isso é uma série infinita alternada geométrica.

Uma série geométrica é definida como sendo
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}r^n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}r^n=\lim_{n\to\infty}S_n=S$
Sabemos que a série converge quando o limite acima existe, ou seja, S é algum número real.
A série diverge quando $S_n\to\infty,~~n\to\infty$
e para o caso de uma série geométrica, sabemos por definição (de fácil demonstração) que ela é convergente para todo r menor que 1:
$|r|\ \textless \ 1~~\text{serie converge}\\|r|\geq 1~~\text{serie diverge}$

Vamos testar essa série:
Pelo critério da convergência de uma série alternada, temos que a série converge se atender aos dois critérios abaixo:

Seja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}b_n$ onde $b_n$ é uma sequência qualquer, a série alternada convergirá se, e somente se:

$\displaystyle \bullet ~ \lim_{n\to\infty}b_n=0\\\\\bullet ~ b_n\ \textgreater \ b_{n+1}$

além disso a série convergirá absolutamente se
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left|(-1)^nb_n\right|=\sum_{n=0}^{\infty}\left|b_n\right|$

então vamos ao teste:

TESTE DAS SÉRIES HARMÔNICAS 

Na série apresentada o coeficiente (ou sequência) é:
$\displaystyle b_n=\frac{3}{2^n}$
fazemos o primeiro teste:
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3}{2^n}=3\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$

e o segundo:
$\displaystyle b_{n}\ \textgreater \ b_{n+1}\\\\ i)~~~~\frac{3}{2^n}\ \textgreater \ \frac{3}{2^{n+1}}\\\\ i)~~~\frac{1}{2^n}\ \textgreater \ \frac{1}{2^{n+1}}$

sabemos que essa desigualdade se mantém para todo n>1, desse modo concluímos que essa série é convergente.

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Bons estudos!