Question

As respostas são: a)
1/128        b) 1/64

Numa prova há 7 questões
do tipo verdadeiro/falso. Calcule a probabilidade de acertarmos todas as
questões se:


a)  Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas


b)  Escolhermos aleatoriamente as respostas, mas
tendo o professor informado que há mais respostas verdadeiras do que falsas

Answer 1

a) Sete questoes e voce tem 2^7 possibilidades de responder (2 alternativas por questao): 128 maneiras. So existe uma forma totalmente correta, ou seja, 1/128.

b) Mesmo esquema da anterior, so que precisa que pelo menos tenha uma questao falsa a mais. Portanto fica:
2.2.2.2.2.2.1 = 2^6.1 = 2^6 = 64
Entao, so ha uma forma de responder corretamente.
1/64

Answer 2

a) Para cada questão há duas possibilidades: ou verdadeiro ou falso.

Com isso, há $2^7$ modos de responder essa prova, das quais, apenas uma é o gabarito.

A probabilidade de acertarmos todas as questões se escolhermos aleatoriamente as $7$ respostas é 

$P=\dfrac{1}{2^7}=\dfrac{1}{128}$.

b) Precisamos determinar quais são os casos em que há mais respostas verdadeiras do que falsas.

ou seja, os casos em que há 4, 5, 6 ou 7 respostas verdadeiras.

Para isso, vamos permutar as letras $V$ e $F$ representando verdadeiro e falso.

O número de possibilidades para 4 verdadeiras é $\dbinom{7}{4}=35$.

O número de possibilidades para 5 verdadeiras é $\dbinom{7}{5}=21$.

O número de possibilidades para 6 verdadeiras é $\dbinom{7}{6}=7$.

E há apenas uma possibilidades para 7 respostas verdadeiras.

Com isso, há $35+21+7+1=64$ casos possíveis, dos quais há apenas um favorável.

A probabilidade procurada é $\dfrac{1}{64}$.