Question

Calcule os valores de x, y e z do sistema de equações
x - 2y - 2z = -1
x - y + z = -2
2x + y + 3z = 1, utilizando a Regra de Cramer.

Answer 1

Para resolvermos o sistema de equações usando a Regra de Cramer, temos que obter a matriz incompleta correspondente a esse sistema.

Essa matriz é:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-2\\1&-1&1\\2&1&3\end{array}\right]$

Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

D = 1·(-1)·3 + (-2)·1·2 + (-2)·1·1 - [(-2)·(-1)·2 + 1·1·1 + (-2)·1·3]

D = - 3 - 4 - 2 - [4 + 1 - 6]

D = - 9 - [- 1]

D = - 9 + 1

D = - 8

Agora, vamos calcular o determinante de x, substituindo a primeira coluna da matriz pela coluna dos termos independentes. Fica assim:

$\left[\begin{array}{ccc}-1&-2&-2\\-2&-1&1\\1&1&1\end{array}\right]$

Calculamos o determinante dessa matriz.

Dx = (-1)·(-1)·3 + (-2)·1·1 + (-2)·(-2)·1 - [(-2)·(-1)·1 + (-1)·1·1 + (-2)·(-2)·3]

Dx = 3 - 2 + 4 - [2 - 1 + 12]

Dx = 5 - [13]

Dx = - 8

O valor de x é dado por:

x = Dx/D

x = - 8/ -8 ⇒ x = 1

Agora, vamos calcular o determinante de y, substituindo a segunda coluna da matriz pela coluna dos termos independentes. Fica assim:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\1&-2&1\\2&1&3\end{array}\right]$

Calculamos o determinante dessa matriz.

Dy = 1·(-2)·3 + (-1)·1·2 + (-2)·1·1 - [(-2)·(-2)·2 + 1·1·1 + (-1)·1·3]

Dy = - 6 - 2 - 2 - [8 + 1 - 3]

Dy = - 10 - [6]

Dy = - 16

Logo, o valor de y é:

y = Dy/D

y = - 16/- 8⇒ y = 2

Agora, calculamos o determinante de z, substituindo a terceira coluna da matriz pela coluna dos termos independentes. Fica assim:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&-1&-2\\2&1&1\end{array}\right]$

Calculamos o determinante dessa matriz.

Dz = 1·(-1)·1 + (-2)·(-2)·2 + (-1)·1·1 - [(-1)·(-1)·2 + 1·(-2)·1 + (-2)·1·1]

Dz = - 1 + 8 - 1 - [2 - 2 - 2]

Dz = 6 - [- 2]

Dz = 6 + 2

Dz = 8

Logo, o valor de z é:

z = Dz/D

z = 8/- 8

z = - 1

Solução: (1, 2, - 1).

Answer 2

Com o estudo aplicação sobre a regra de Cramer, temos como resposta x= -1, y =2 e z= -1

Regra de Cramer

Vamos considerar inicialmente o seguinte sistema linear com três equações e três incógnitas

• $\begin{cases}a1x+b1y+c1z=d1 \\a2x+b2y+c2z=d2 \\a3x+b3y+c3z=d3\end{cases}$

Calculando primeiramente  o determinante D que vai ser o determinante da matriz dos coeficientes do sistema

• $D=\left| \begin{array}{rcr}a1 & a1 & c1 \\ a2 & b2 & c2\\ a3 & b3 & c3\end{array} \right|$

a regra de Cramer só vai ser aplicável se D ≠ 0. Sendo assim vamos calcular o determinante D da matriz dos coeficientes do sistema proposto

• $D=\left| \begin{array}{rcr}1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & 1\\ 2 & 1 & 3\end{array} \right|$

Vamos aplicar a seguinte fórmula

• $det\begin{pmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{pmatrix}=a\cdot \det \begin{pmatrix}e&f\\ h&i\end{pmatrix}-b\cdot \det \begin{pmatrix}d&f\\ g&i\end{pmatrix}+c\cdot \det \begin{pmatrix}d&e\\ g&h\end{pmatrix}$

Assim teremos

• $1\cdot \det \begin{pmatrix}-1&1\\ 1&3\end{pmatrix}-\left(-2\right)\det \begin{pmatrix}1&1\\ 2&3\end{pmatrix}-2\cdot \det \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1\end{pmatrix}=-8\neq 0$

Agora que o determinante D foi encontrado podemos utilizar a seguinte fórmula para encontrar o valor de x, y e z

• $x=\frac{Dx}{D},y=\frac{Dy}{D},z=\frac{Dz}{D}$

Assim teremos os seguintes determinantes relacionados a cada uma das incógnitas

• $Dx=\left| \begin{array}{rcr}-1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 3\end{array} \right|=-8$

• $Dy=\left| \begin{array}{rcr}1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1\\ 2 & 1 & 3\end{array} \right|=-16$

• $Dz=\left| \begin{array}{rcr}1 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -2\\ 2 & 1 & 1\end{array} \right|=8$

Sendo assim: $x=\frac{-8}{-8} =1,y=\frac{-16}{-8}=2,z= \frac{8}{-8}=-1$

Saiba mais sobre o método de Cramer:https://brainly.com.br/tarefa/754830

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