Question

Resolva,em IR, as seguintes equaçoes

A)㏒4(x+3)=2
B)㏒3/5(2x²-3x+2)=0

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Letra “A”:

Utilizaremos a seguinte Propriedade:

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{log_{b}^~{x}}=a~=>~\mathbf{x=b^{a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Observe:

$\mathtt{log_{4}^~{(x+3)}}=\mathtt{2}}}\\\\\\\\ \mathtt{(x+3)=2^{4}}}}}}\\\\\\\\\\\ \mathtt{x+3=16}}}\\\\\\\\ \mathtt{x=16-3}}}\\\\\\\\\ \Large\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{x=13.}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Letra “B”:

Utilizando a mesma propriedade utilizada acima, teremos:

$\mathtt{log_{\frac{3}{5}}^~{(2x^{2}-3x+2)}}=\mathtt{0}}}\\\\\\\\\\ \mathtt{2x^{2}-3x+2}=\bigg(\dfrac{3}{5}\bigg)^{0}}}}}}}\\\\\\\\\\\ \mathtt{2x^{2}-3x+2}=\dfrac{1}{1}}}}}\\\\\\\\\ \mathtt{2x^{2}-3x+2}=1}}}\\\\\\\\\ \mathtt{2x^{2}-3x+1=0}}}}$

Agora que temos uma equação quadrada, podemos utilizar a fórmula de Bháskara, veja:

$\mathsf{x=-b~\pm~\dfrac{\sqrt{b^{2}-4~\cdot~a~\cdot~c}}{2~\cdot~a}}}}}~\to~\mathtt{2x^{2}-3x+1=0}}}}}}}\\\\\\\\\\\\ \mathsf{x=3~\pm~\dfrac{\sqrt{(-3)^{2}-4~\cdot~2~\cdot~1}}{2~\cdot~2}}}}}\\\\\\\\\\\ \mathsf{x=3~\pm~\dfrac{\sqrt{9-8}}{4}}}}\\\\\\\\ \mathsf{x=3~\pm~\dfrac{\sqrt{1}}{1}}}\\\\\\\\\ \mathsf{x'=\dfrac{3+1}{4}}\\\\\\\\\\ \Large\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x'=1}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\ \mathsf{x"=\dfrac{3-1}{4}}}}\\\\\\\\\\ \mathsf{x"=\dfrac{2}{4}}}}}}}\\\\\\\\\\\ \Large\boxed{\boxed{\mathsf{x"=\dfrac{1}{2}}}}}}}}}}}}}}}}$

Espero que te ajude. '-'

Answer 2

a)
$log_4(x+3)=2$

Podemos escrever 2 como $log_4(16)$. Assim:

$log_4(x+3)=log_4(16)$

Agora basta garantir que x+3=16.

x+3 = 16
x = 16 - 3
x = 13

A afirmação é verdadeira apenas para x=13.

b) Vamos fazer basicamente o que foi feito na letra "a" com. Sabemos que o logaritmo de 1 em qualquer base é zero. Assim:

$0=log_{ \frac{3}{5} }(1)$

$log_{ \frac{3}{5} }(2x^2-3x+2)=log_{ \frac{3}{5} }(1)$

Agora basta garantir que

2x² - 3x + 2 = 1
2x² - 3x + 1 = 0

Resolvendo essa equação por Bhaskara:

delta = (-3)² - 4*(2)*(1)
delta = 9 - 8 = 1

x = (3 + 1)/4 = 4/4 = 1

x' = (3 - 1)/4 = 2/4 = 1/2

Analisando o coeficiente do termo x² da função (2, positivo) podemos constatar que a função tem a concavidade virada para cima. Assim a função é positiva para os pontos antes de 1/2 e depois de 1. De forma que o conjunto no qual os valores da função são positivos é:


$S=[-{\infty} , \frac{1}{2} ] U [1,+{\infty}]$

E esse é o conjunto em que a função inicial é válida pois não existe logaritmo de números inteiros.