Question

Um fazendeiro deseja construir um cercado de modo que a area interna tenha formato retangular. Para isso dispoe de material para construir 400 metros lineares de cerca. Quais devem ser as dimensões do cercado para que a areainterna seja maxima ?

Answer 1

Então, as dimensões serão 100x100, será um quadrado de área 10000m². a demonstração é um pouco complicada porque faz uso de geometria analítica: 

considere um retângulo de lados a e b
a + a + b + b = 2p
2a + 2b = 2p
 p = a + b
 a = p - b

(2p seria os 400 metros porém deixarei no formato de incógnita para facilitar, detalhe o p é fixo):
agora, considere um quadrado de área A:

A = a.b

substituindo: 
A = b. (p - b)
A = -b² + bp

a área máxima vai ser dada pelo x do vértice ( Xv = -b/2a):

Xv = -p /2.(-1)
Xv = p/2

logo, o valor de b que define a área máxima é b=p/2
da relação do perímetro a = p - b, logo:

a= p - p/2
a= p/2

dessa forme tem-se a = b ou seja os lados do retângulo são iguais.... fica provado que o quadrado tem a maior área

Então é um pouco complicado mas está ai a demonstração...