Question

Um helicóptero da policia rodoviária sobrevoa uma auto-estrada a 3 milhas do solo a uma velocidade constante de 120 mi/h. O piloto vê um carro se aproximando e o radar assinala que no instante da observação a distancia entre o carro e o avião é de 5 mi. A distancia entre eles diminui a uma taxa de 160 mi/h. Calcule a velocidade do carro.



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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Irei utilizar nesse exercício a famosa geometria analítica, por um método mais trabalhoso.

Irei primeiramente colocar o Helicóptero (Ponto A) e o Carro (Ponto B) em um plano cartesiano, de tal forma que a posição deles dependerá da variável t.

O carro irá situar na Origem em t(0)= Instante de Observação. e deslocando-se para a o sentido negativo com velocidade v.

Assim a função das coordenadas do Ponto(B) será:

$\left \{ {{x=-vt} \atop {y=0}} \right.$

O helicóptero se desloca em sentido positivo e observa à frente e 3 metros abaixo o carro na origem, por isso o ponto(A) possui a coordenada x negativa.

Como a distância entre eles é 5, então podemos formar o triângulo pitagórico (3,4,5) e descobrir sua posição x (Distância entre o carro e a projeção do helicóptero sob o eixo x (Estrada)).

A função das coordenadas do ponto (A) será:

$\left \{ {{x=-4+120t} \atop {y=3}} \right.$

A distância entre os dois pontos em função do tempo e da velocidade do carro será:

$D= \sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2} \\D= \sqrt{(-4+120t+vt)^2+9}$

A derivada dessa função nos dará a velocidade instantânea entre o carro e o helicóptero, e essa deve ser igual a -160, que irá substituir D' posteriormente.

$\frac{d}{dt}D= \frac{d}{dt}\sqrt{(vt+120t-4)^2+9}$

Considerando:

$u=(vt+120t-4)^2+9\\w=vt+120t-4$

Temos:

$\frac{d}{dx}D=\frac{1}{2\sqrt{u}}*2w*(v+120)\ \ \ \ \ \ (Regra\ da\ cadeia)\\\\\frac{d}{dx}D=\frac{(vt+120t-4)*(v+120)}{\sqrt{(vt+120t-4)^2+9}}\\\\\frac{d}{dx}D=\frac{(v*0+120*0-4)*(v+120)}{\sqrt{(v*0+120*0-4)^2+9}}\ \ \ \ \ (t=0)\\ -160=\frac{(-4)*(v+120)}{\sqrt{(-4)^2+9}}\\\\40=\frac{v+120}{5}\\\\v+120=200\\\\\boxed{v=80\ mi/h}$

Portanto, a velocidade do carro é de 80 milhas por hora com a mesma direção do helicóptero e sentidos opostos.