Question

Dada a série geométrica ∑4 (1/2)ⁿ⁻¹ determine se ela diverge ou converge. Se convergir calcule sua soma.

Answer 1

Manipularei o somatório para começar a trabalhar com a série em n = 0 e colocarei o 4 (que pode sair do somatório multiplicando por causa de uma das propriedades do somatório)
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }4\left(\frac{1}{2}\right)^{(n-1)}=4\sum_{n+1=1}^{\infty}\left(\frac{2}{2}\right)^n=4\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$

Sabemos que toda série geométrica é dada na forma $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}cr^{n}$ converge para todo $|r|\ \textless \ 1$
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$\displaystyle \frac{1}{2}\ \textless \ 1$ portanto a série converge.
Estimamos sua soma observando o comportamento dos seus n primeiros termos:
$\displaystyle S_n=\sum_{n=0}^{n}\frac{1}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}\\\\\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{n}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{(n+1)}}\\\\\text{subtrair a primeira linha pela segunda} \\\\ \left(1-\frac{1}{2}\right)S_n=1-\frac{1}{2^{(n+1)}}\implies S_n=\frac{1-\frac{1}{2^{(n+1)}}}{\frac{1}{2}}$

Sn é a soma dos n termos da série (encontramos uma fórmula para estimar a soma)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2^{n}}=S_n\implies \lim_{N\to\infty }\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2^{n}}=S$
ou seja, se tomarmos o limite de Sn com o n indo pro infinito encontraremos a soma dessa série:
$\displaystyle i)~~~~\lim_{n\to\infty }S_n=S\\\\ii)~~~\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{2^{(n+1)}}}{\frac{1}{2}}=\frac{1-0}{\frac{1}{2}}=2$
ou seja:
$\displaystyle 4\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=4S=4(2)=\boxed{8}$

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