Question

calcule a derivada direcional da função f(x,y)= 5x^3 y - 3x^2 y^2 + 5x - 3y^2 no ponto (-1,2) na direção vetor v=(3î-2j)

Answer 1

$D_{u}f=\vec{\nabla}f\cdot \hat{u}(x,y)$
(derivada direcional de f na direção de u no ponto (x,y))


1º definir o versor do vetor v:
$\displaystyle \hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{3\hat{i}-2\hat{j}}{\sqrt{9+4}}=\boxed{\frac{3}{\sqrt{13}}\hat{i}-\frac{2}{\sqrt{13}}\hat{j}}$

2º calcular o gradiente da função:
$\displaystyle i)~~~~~\vec{\nabla}\cdot f=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{j}\\\\ii)~~~~\vec{\nabla}\cdot \left(5x^3y-3x^2y^2+5x-3y^2\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(5x^3y-3x^2y^2+5x-3y^2\right)\hat{i}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{\partial }{\partial y}\left(5x^3y-3x^2y^2+5x-3y^2\right)\hat{j}\\\\iii)~~~\boxed{\vec{\nabla}\cdot f(x,y)=(15x^2y-6xy^2+5)\hat{i}+(5x^3-6x^2y-6y)\hat{j}}$

3º calcular o produto escalar do gradiente com o versor do vetor v (derivada direcional)
$\displaystyle i)~~~~D_{v}f(x,y)=\vec{\nabla}f(x,y)\cdot \hat{v}\\\\ii)~~~\vec{\nabla}f\cdot \hat{v}=\left((15x^2y-6xy^2+5),(5x^3-6x^2y-6y)\right)\cdot \left(\frac{3}{\sqrt{13}} ,-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\\\\iii)~~\boxed{D_{v}f(x,y)=\frac{3}{\sqrt{13}}(15x^2y-6xy^2+5)-\frac{2}{\sqrt{13}}(5x^3-6x^2y-6y)}$

4º calcular a derivada direcional no ponto (-1,2)
$\displaystyle i)~~~~D_{v}f(-1,2)=\frac{3}{\sqrt{13}}(15(-1)^2(2)+6(2)^2+5)\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-\frac{2}{\sqrt{13}}(5(-1)^3-6(-1)^2(2)-6(2))\\\\ii)~~~D_vf(-1,2)=\frac{3}{\sqrt{13}}(30+24+5)-\frac{2}{\sqrt{13}}(-5-24)\\\\iii)~~D_vf(-1,2)=\frac{3(30+24+5)}{\sqrt{13}}-\frac{10+48}{\sqrt{13}}\\\\iv)~~~D_vf(-1,2)=\frac{90+72+15-10-48}{\sqrt{13}}=\boxed{\frac{119}{\sqrt{13}}\approx 33}$

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