Question

AJUDA URGENTE!!

A TAXA DE VARIAÇÃO DA QUANTIDADE VENDIDA V DE UM PRODUTO EM RELAÇÃO AOS GASTOS COM PROPAGANDA X É:

V'(X)= 20/ X+5

DEVE SER UTILIZADA UMA INTEGRAL DE SUBSTITUIÇÃO PARA O CALCULO DA QUANTIDADE VENDIDA EM RELAÇÃO AO GASTO DE PROPAGANDA.
SABENDO-SE QUE, QUANDO X=100, V=80, ENTÃO V EM FUNÇÃO DE X É?
DADO: ln105=4,65

A)V(X)=20/105
B) V(X)=20ln(X+5)-13
C)V(X)=20ln(X+5)
D)V(X)=20ln + 105
E)V(X)=20ln(X+5)+105

Answer 1

Isso é um problema de valor inicial. Primeiro, começamos calculando a integral indefinida da função V'(x).

$\int V'(x)dx$
$\int \frac{20}{x + 5} dx$
Para fazer tal integral, vamos precisar fazer substituição u.du:
$u = x + 5$
$du = 1 dx$
$20du = 20dx$

Ficamos então com:
$\int \frac{20du}{u}$
$20\int \frac{du}{u}$
A integral do recíproco de u em respeito a u é o logaritmo natural de u. Isso é necessário saber.
$20ln(u) + C$
Substituimos u por x + 5.

$V(x) = 20ln(x + 5) + C$
Precisamos descobrir o valor de C para finalizar. Para tal, usaremos os valores dados, que diz que V(x) = 80 quando X = 100. Ficamos então com:

$V(100) = 20ln(105) + C$
$80 = 20ln(105) + C$
Já que ln(105) = 4,65, iremos fazer o produto de ln(105) por 20.
$80 = 20(4,65) + C$
$80 = 93 + C$
$-13 = C$
$C = -13$.
Agora que achamos C, basta re-colocar seu valor na função V(x).

$V(x) = 20ln(x + 5) + C$
$V(x) = 20ln(x + 5) - 13$

Alternativa correta: B.