Question

4) A figura ao lado mostra o quadrado ABCD, cujos lados medem 4 cm, e o triângulo equilátero BDE.

a- Calcule a medida do lado do triângulo BDE.

b- Calcule a medida da altura do triângulo BDE

c- Qual é a área da região pintada da figura?

Answer 1

a)Como o triângulo BDE é equilátero, seus lados são iguais. O seu lado é igual a diagonal do quadrado. A diagonal do quadrado é sempre o lado vezes raiz de 2, ou seja, o lado do triângulo e a diagonal são 4√2cm.

b)A altura de um triângulo equilátero é dada por:

$h = \frac{l \sqrt{3} }{2}$

Onde l é o lado do triângulo:

$h = \frac{4 \sqrt{2}. \sqrt{3} }{2} = 2 \sqrt{6}$

A altura é 2√6cm


c) A área pintada vai ser a área do triângulo equilátero menos a metade da área do quadrado (ou o triângulo retângulo que está no triângulo BDE):

$A_{pintada} = A_{te} - A_{tr} \\ A_{pintada} = \frac{l^2 \sqrt{3} }{4} - \frac{b.h}{2} \\ \\ A_{pintada} = \frac{(4 \sqrt{2})^2. \sqrt{3} }{4} - \frac{4.4}{2} \\ \\ A_{pintada} = \frac{16.2. \sqrt{3} }{4} - \frac{16}{2} \\ \\ A_{pintada} = 8 \sqrt{3} - 8$

A área é (8√3 - 8)cm²

Answer 2

a) A medida do lado do triângulo BDE é 4√2 cm.

b) A medida da altura do triângulo BDE é 2√6 cm.

c) A área da região pintada da figura é de aproximadamente 5,856 cm².

Teorema de Pitágoras

Olhando para a figura, podemos ver que o lado do triângulo equilátero BDE é a diagonal do quadrado.

Podemos encontrar a diagonal do quadrado pelo Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, onde os catetos medem 4 cm, pois são os lados do quadrado.

BD = √(4² + 4²)

BD = √(16 + 16)

BD = √32

BD = 4√2 cm

Se traçarmos a altura do triângulo BDE com relação ao lado BD, obteremos um ponto médio M do lado BD. Assim formamos o triângulo retângulo EMD, onde o lado MD vale metade da diagonal e DE é o lado do triângulo. Assim:

MD =  4√2/2 = 2√2 cm

DE =  4√2

EM² = (4√2)² - (2√2)²

EM² = 16 · 2 - 4 · 2

EM = √(32 - 8)

EM = √24

EM = 2√6 cm

A área da região pintada é a diferença das área dos triângulos BDE e BDC:

$\'Area_{CDBE} = \'Area_{BDE} - \'Area_{BDC}\\\'Area_{CDBE} = \frac{4\sqrt2 \cdot 2\sqrt 6}{2} - \frac{4 \cdot 4}{2}\\\'Area_{CDBE} = 4\sqrt{12} - 8\\\'Area_{CDBE} = 8\sqrt{3} - 8\\\'Area_{CDBE} = 8(\sqrt{3} - 1) ~cm^2\\\'Area_{CDBE} \approx 5,856 ~cm^2$

Veja mais sobre o Teorema de Pitágoras em:

https://brainly.com.br/tarefa/20718757

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