Question

Dê a soma da solução: |x²-4x|=2x+3

Answer 1

Resolver a equação modular:

     $\mathsf{|x^2-4x|=2x+3}$


•  Condição de existência:  A expressão do lado direito está igualada ao módulo de um número real, portanto ela não pode ser negativa:

     $\mathsf{2x+3\ge 0\qquad\quad (i)}$


•   Resolvendo a equação:

     $\mathsf{|x^2-4x|=2x+3}\\\\ \mathsf{x^2-4x=\pm (2x+3)}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x^2-4x=2x+3}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x^2-4x=-(2x+3)}\\\\ \mathsf{x^2-4x=2x+3}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x^2-4x=-2x-3}\\\\ \mathsf{x^2-4x-2x-3=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x^2-4x+2x+3=0}\\\\ \mathsf{x^2-6x-3=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x^2-2x+3=0} \end{array}$

—————

Temos duas equações quadráticas a resolver. Vamos resolvê-as separadamente, e fazer a união das soluções, respeitando a condição de existência.

•   $\mathsf{x^2-6x-3=0\quad \longrightarrow\quad a=1,~~b=-6,~~c=-3}$

     $\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}\\\\ \mathsf{\Delta=36+12}\\\\ \mathsf{\Delta=48}\\\\ \mathsf{\Delta=2^4\cdot 3}\\\\ \mathsf{\Delta=(2^2)^2\cdot 3}$


     $\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(2^2)^2\cdot 3}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{6\pm 2^2\cdot \sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{6\pm 4\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (3\pm 2\sqrt{3})}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{x=3\pm 2\sqrt{3}}$

     $\begin{array}{rcl} \mathsf{x=3-2\sqrt{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=3+2\sqrt{3}\qquad\quad (ii)} \end{array}$


... ou ...


•   $\mathsf{x^2-2x+3=0\quad \longrightarrow\quad a=1,~~b=-2,~~c=3}$
     
     $\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot3}\\\\ \mathsf{\Delta=4-8}\\\\ \mathsf{\Delta=-4<0}$


Como o discriminante  Δ  é negativo,  então a equação  x² – 2x + 3 = 0  não possui soluções reais.

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Testando os valores encontrados para ver se satisfazem a condição de existência  2x + 3 ≥ 0:


•   Testando  $\mathsf{x=3-2\sqrt{3}:}$

     $\mathsf{2\cdot (3-2\sqrt{3})+3}\\\\ =\mathsf{6-4\sqrt{3}+3}\\\\ =\mathsf{9-4\sqrt{3}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{9^2}-\sqrt{3\cdot 4^2}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{81}-\sqrt{3\cdot 16}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{81}-\sqrt{48}}$


e  como   $\mathsf{81>48},$  então

     $\mathsf{\sqrt{81}\ge \sqrt{48}}\\\\ \mathsf{\sqrt{81}-\sqrt{48}\ge 0}$

     $\therefore~~\mathsf{2x+3\ge 0~~~para~~x=3-2\sqrt{3}}$          ✔


•   Testando  $\mathsf{x=3+2\sqrt{3}:}$

     $\mathsf{2\cdot (3+2\sqrt{3})+3}\\\\ =\mathsf{6+4\sqrt{3}+3}\\\\ =\mathsf{9+4\sqrt{3}\ge 0}$


pois é a soma de dois números positivos.

     $\therefore~~\mathsf{2x+3\ge 0~~~para~~x=3+2\sqrt{3}.}$          ✔

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O conjunto solução para a equação modular dada inicialmente é

     S = {3 – 2√3,  3 + 2√3}


e a soma das soluções é

     $\mathsf{x_1+x_2}\\\\ =\mathsf{(3-2\sqrt{3})+(3+2\sqrt{3})}$

     $=\mathsf{6}$   <———   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)