Question

Quantas raízes reais tem a equação (x²-3)² + (2x²-1)²=85?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anapaula, que a resolução é simples.
Pede-se o número de raízes reais da equação abaixo:

(x²-3)² + (2x²-1)² = 85 ---- desenvolvendo os quadrados, teremos:
x⁴-6x²+9 + 4x⁴-4x+1 = 85 ---- passando "85" para o 1º membro, temos:
x⁴-6x²+9 + 4x⁴-4x²+1 - 85 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
5x⁴ - 10x² - 75 = 0  --- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "5", com o que ficaremos:

x⁴ - 2x² - 15 = 0 --- veja que x⁴ = (x²)². Assim, substituindo, teremos:
(x²)² - 2x² - 15 = 0 ---- vamos fazer x² = y. Com isso, ficaremos assim:
(y)² - 2y - 15 = 0 --- ou apenas:
y² - 2y - 15 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

y' = - 3
y'' = 5.

Mas veja que fizemos x² = y. Então:

i) Para y = - 3, teremos:

x² = - 3 <--- Impossível. Não poderá haver um número que, elevado ao quadrado, dê resultado negativo. Logo, descartaremos a raiz y = - 3.

ii) Para y = 5, teremos:

x² = 5
x = ± √(5) ---- daqui você conclui que:

x' = - √(5)
x'' = √(5).

Como você viu, a função da sua questão tem apenas duas raízes reais. As outras duas são raízes complexas. Logo, o número de raízes reais da função da sua questão são:

2 raízes reais <--- Esta é a resposta. Ou seja, só há duas raízes reais na função da sua questão e que são estas: x' = -√(5) e x'' = √(5).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.