Question

7. Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0,0), (b,2b) e (5b,0), com b>0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:? heeelllpppp :)

Answer 1

Distância entre dois pontos genéricos "Z" e "W" (dZW) ⇒

dZW = √((xZ - zW)² + (yZ - yW)²)

Observe os anexo 1 e 2. Dele, podemos tirar as conclusões :

→ O quarto vértice só pode estar no 4º quadrante ("x" positivo e "y" negativo);
→ Sendo a figura um retângulo, as arestas paralelas são iguais (observe o anexo 2). Além disso, d1 ≠ d2 (como calcularemos), logo, não é quadrado...

Aresta "d1" : Distância entre (0,0) e (b,2*b) :

d1 = √((0 - b)² + (0-2*b)²)

d1 = √((-b)² + (-2*b)²)

d1 = √(b² + 4*b²)

d1 = √(5*b²) ⇒ Podemos elevar os dois lados ao quadrado :

d1² = 5*b²...

Aresta "d2" : Distância entre (b,2*b) e (5*b,0) :

d2 = √((b-5*b)² + (2*b - 0)²)

d2 = √((-4*b)² + (2*b)²)

d2 = √(16*b² + 4*b²)

d2 = √(20*b²) ⇒ Podemos elevar os dois lados ao quadrado :

d2² = 20*b²...

...

Sendo o quarto vértice (x,y), temos que :

⇒ A distância entre (x,y) e a origem (0,0) é igual à sua aresta paralela, ou seja, igual à d2 :

d2 = √((x-0)²+(y-0)²)

d2 = √(x² + y²) ⇒ Elevando os dois lados ao quadrado :
 
d2² = x² + y² ⇒ Como vimos, d2² = 20*b²...

20*b² = x² + y²  (I)...

⇒ A distância entre (x,y) e (5*b,0) é igual à sua aresta paralela, ou seja, igual à d1 :

d1 = √((x-5*b)² + (y-0)²)

d1 = √((x-5*b)² + y²) ⇒ Elevando os dois lados ao quadrado :

d1² = (x-5*b)² + y² ⇒ Como vimos, d1² = 5*b²...

5*b² = (x-5*b)² + y²  (II)

...

Fazendo (I) - (II) :

20*b² - 5*b² = x² + y² - ((x-5*b)² + y²)

15*b² = x² + y² -(x-5*b)² - y²

15*b² = x² -(x-5*b)² ⇒ Desenvolvendo o produto notável dentro dos parênteses :


15*b² = x² -(x² - 10*x*b + 25*b²) ⇒ Aplicando o sinal dos parênteses :

15*b² = x² - x² + 10*x*b - 25*b²

15*b² = 10*x*b - 25*b²

15*b² + 25*b² = 10*x*b

40*b² = 10*x*b ⇒ Como x e b > 0, já podemos "cortar" b :

40 * b = 10 * x

40 / 10 * b = x

x = 4*b ⇒ Valor da abscissa do quarto vértice !

Substituindo em (I) para acharmos y :

20*b² = (4*b)² + y²

20*b² = 16*b² + y²

20*b² - 16*b² = y²

4*b² = y²

y = √(4*b²)

y = +- 2*b ⇒ Como vimos, o quarto  vértice está no 4º quadrante, logo, y < 0 :

y = - 2*b ⇒ Valor da ordenada do quarto vértice !

Logo, o quarto vértice é (4*b,-2*b).