Question

Prove que num triângulo equilátero, todas as suas alturas possuem o mesmo
comprimento.

Answer 1

Olá, tudo bem?

Podemos escrever a altura do triângulo equilátero em função da medida dos seus lados. 

Para isso, imagine que façamos um corte horizontal dividindo um triângulo equilátero de lado "L" e altura "h" ao meio, nesse caso teremos um novo triângulo retàngulo de lados "L", "h" e "L/2", e com ângulos de 90º, 60º e 30º. 

Agora basta aplicarmos Pitágoras nesse novo triângulo retângulo formado:

L²=h²+(L/2)²
L²=h²+L²/4
L²-L²/4=h²
h²=(4L²-L²)/4
h²= 3L²/4
h=√3L/2 

Agora que temos a altura do triângulo equilátero em função da medida dos seus lados podemos inferir que todas suas alturas possuem o mesmo comprimento, já que, se substituirmos o valor de "L" na fórmula pelo valor de qualquer um dos lados do triângulo obteremos o mesmo valor, uma vez que seus 3 lados são iguais. 

Espero ter ajudado!