Question

A diferença entre o número de diagonais de dois polígono é 85 e o número de lados de um é o triplo de número de lados do outro. Quais são estes polígonos?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Sílviadesouza, que a resolução é simples.

Antes de iniciar, veja que o número de diagonais de um polígono é dado por:

d = n*(n-3)/2 , em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que a diferença do número de diagonais de dois polígonos  é 85. E sabe-se que o número de lados de um dos polígonos é o triplo do número de lados do outro.
Então veja: se um polígono tem "n  lados" , o outro terá "3*n = 3n lados".
Assim, chamando-se de "d₁" o número de diagonais do polígono que tem "n lados" e de "d₂" o número de diagonais do polígono que tem "3n lados", teremos o seguinte:

d₂ - d₁ = 85 ----- substituindo-se "d₂" e "d₁" pelas fórmulas do cálculo de diagonais de um polígono regular [d = n*(n-3)/2], teremos:

[3n*(3n-3)/2] - [n*(n-3)/2] = 85 --- efetuando os produtos indicados, temos:
[9n²-9n]/2 - [n²-3n]/2 = 85 --- como o denominador é o mesmo, então poderemos fazer assim, o que é a mesma coisa:

[9n²-9n - (n²-3n)]/2 = 85 --- retirando-se os parênteses, ficaremos com:
[9n²-9n - n²+3n]/2 = 85 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
[8n² - 6n]/2 = 85 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
[8n² - 6n] = 2*85 --- ou apenas:
8n² - 6n = 170 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

4n² - 3n = 85 ---- passando "85" para o 1º membro, teremos:
4n² - 3n - 85 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

n' = -17/4 <---raiz inválida. Não há polígonos com número negativo de lados. E mesmo que este número não fosse negativo, mas é fracionário. E o número de diagonais de um polígono, além de ter que ser positivo, terá que ser também um número inteiro. Por isso é que descartamos a raiz "-17/4".

n'' = 5 <--- raiz válida, pois além de ser positiva é um número inteiro.

ii) Assim, resumindo, como encontramos que n = 5, então teremos que os polígonos serão:

- o que tem "n lados" terá 5 lados (é um pentágono)
- o que tem "3n lados" terá 3*5 lados = 15 lados (é um pentadecágono).

Pronto, a resposta é a que demos aí cima, ou seja, os polígonos serão o pentágono e o pentadecágono.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.