Question

Determine a área da região sombreada no intervalo [ $\frac{ \pi }{2} , \pi$ ], conforme figura abaixo :
Sugestão: use a identidade : cos²x = $\frac{1 + cos 2x}{2}$

Answer 1

Para π/2, temos,

$(cos (\frac{\pi}{2} ))^2= y \\ \\ \boxed{y= 0}$

Para π, temos,

$(cos (\pi}))^2= y \\ \\ \boxed{y= 1}$

Portanto, o ponto mais alto é o 1. A ideia agora é, utilizando-se do conhecimento sobre integrais, calcular a área para y=1 e depois subtrair da área da curva no dado intervalo, assim obteremos a região rachurada.

Área:
$A= \int\limits^{\pi}_{ \frac{\pi}{2} } {1 } \, dx - \int\limits^\pi_{ \frac{\pi}{2} } {cos^2x} \, dx$

De imediato, a primeira integral:
$\int\limits^{\pi}_{ \frac{\pi}{2} } {1 } \, dx = x \left \right|_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi}= \pi - \frac{\pi}{2}= \frac{\pi}{2} \\ \\ \boxed{\int\limits^{\pi}_{ \frac{\pi}{2} } {1 } \, dx = \frac{\pi}{2}}$

A segunda integral:
$\int\limits^\pi_{ \frac{\pi}{2} } {cos^2x} \, dx = \int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} { \frac{1}{2} \cdot (1+cos (2x)) } \, dx = \frac{1}{2}( \int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} {1 dx} \, + \int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} {cos (2x)} \, dx ) \\ \\ = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cdot \int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} {cos (2x)} \, dx$

Integral definida por substituição:
$\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} {cos (2x)} \, dx; ~~~ u= 2x ; ~~~~du= 2 ~dx \\ \\ \int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} {cos (2x)} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} {cos ~u} \, du = \frac{1}{2} \cdot sen (2x)\left \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \\ \\ = \frac{1}{2} \cdot (sen(2\pi) - sen(\pi)) \\ \\ = \frac{1}{2} \cdot (0-0) = 0 \\ \\ \boxed{\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} {cos (2x)} \, dx = 0}$

Por fim,
$\boxed{\int\limits^{\pi}_{ \frac{\pi}{2} } {1 } \, dx - \int\limits^\pi_{ \frac{\pi}{2} } {cos^2x} \, dx= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} ~u.A}}$