Question

Sabendo que o triangulo e retângulo em B, calcule K, sabendo que A(k,-2), B(2,3) e C(7,5)

Answer 1

Da,b = (xb-xa)² + (yb-ya)²
Da,b = (2-k)² + (3+2)²
Da,b = (2-k).(2-k) + (3+2)²
Da,b = 4 - 2k -2k +k² + 25
Da,b = 4-4k +k² + 25

A(k,-2), B(2,3) e C(7,5)

Da,c = (xc-xa)² + (yc-ya)²
Da,c = (7-k)² + (5+2)²
Da,c = (7-k).(7-k) + 49
Da,c = 49 -7k -7k + k² +49
Da,c = k² -14k + 49 + 49

Db,c = (7-2)² + (5-3)²
Db,c = 25 + 4

k²-14k+49+49 = 4-4k+k²+25 + 25+4
k²-k²-14k+4k=29+29-98
-10k=-40 . (-1)
k=-40/10
k= 4

Answer 2

Calculando a equação da reta que contém B e C :

y = ax+b

Substituindo as coordenadas de B :

3 = 2a+b
b = 3-2a (eq.1)

Substituindo as coordenadas de C :

5 = 7a+b
b = 5-7a (eq.2)

Igualando eq.1 e eq.2 :

3-2a = 5-7a
5a = 2

a = 2/5 (coeficiente angular da reta BC)

Como o triangulo é retangulo em B , AB e BC são perpendiculares . Nesse caso temos uma propriedade :

*O produto dos coeficientes angulares de 2 retas perpendiculares vale -1 .

coef.angular (AB) . coef.angular(BC) = -1

coef.angular(AB) . 2/5 = -1

coef.angular(AB) = -5/2 

Escrevendo a equação da reta AB temos :

y = ax+b

y = -5x/2 + b

Substituindo as coordenadas de B :

3 = -5.2/2 + b
3 = -5+b
b = 8

Agora para as coordenadas de A :

-2 = -5k/2 + b
-2 = -5k/2 + 8

-5k/2 = 10
5k/2 = 10
5k = 20

k = 4.