Question

Determine o polinômio f(x) do segundo grau tal que f(1)= f(-2)=9,f(-1)=1

Answer 1

Vamos lá:

$f(x) = ax^2 + bx + c \\\\ f(1) = a.(1)^2 + b.1 + c \\\\ \fbox{a+b+c=9} \\\\ f(-2) = a.(-2)^2 + b.(-2) + c \\\\ \fbox{4a-2b+c=9} \\\\ f(-1) = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\\\ \fbox{a - b + c = 1}$

Colocando as equações destacadas em um sistema:

$a+b+c=9 \\ 4a-2b+c=9 \\ a-b+c=1$

Utilizando a equação 3, temos:

$a - b + c = 1 \\\\ a = 1 + b - c$

Substituindo a equação encontrada na equação 1, temos:

$a + b + c = 9 \\\\ 1 + b - c + b + c = 9 \\\\ 1 + 2b = 9 \\\\ 2b = 9 - 1 \\\\ 2b = 8 \\\\ b = \frac{8}{2} \\\\ \fbox{b=4}$

Substituindo b por 4 na equação a = 1 + b - c, temos:

$a = 1 + 4 - c \\\\ a = 5 - c$

Substituindo a equação encontrada na equação 2, temos:

$4(5 - c) - 2.4 + c = 9 \\\\ 20 - 4c + c - 8 = 9 \\\\ - 3c + 12 = 9 \\\\ - 3c = 9 - 12 \\\\ - 3c = - 3 \\\\ 3c = 3 \\\\ c = \frac{3}{3} \\\\ \fbox{c=1}$

Substituindo c por 1 na equação a = 5 - c, temos:

$a = 5 - c \\\\ a = 5 - 1 \\\\ \fbox{a=4}$

A equação que procuras é $f(x) = 4x^2 + 4x + 1$.

Espero ter ajudado.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa.
Veja que um polinômio do segundo graué aquela da forma:

f(x) = ax² + bx + c

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se f(1) = f(-2) = 9 e f(-1) = 1, então teremos isto:

f(1)= 9
f(-2) = 9
f(-1) = 1

i.a) Para f(1) = 9, iremos na função f(x) = ax² + bx + c e substituiremos o "x" por "1" e o f(x) por 9, ficando:

9 = a*1² + b*1 + c
9 = a*1 + b*1 + c
9 = a + b + c ---- ou, o que é a mesma coisa:
a + b + c = 9      . (I)

i.b) Para f(-2) faremos a mesma coisa, ou seja: iremos em f(x) = ax²+bx+c e substituiremos o "x" por "-2" e o f(x) por 9, ficando:

9 = a*(-2)² + b*(-2) + c
9 = a*4 + b*(-2) + c
9 = 4a - 2b + c ---- ou, o que é a mesma coisa:
4a - 2b + c = 9      . (II).

i.c) Finalmente, para f(-1) = 1, iremos em f(x) = ax²+bx+c e substituiremos o "x" por "-1" e o f(x) por 1, ficando:

1 = a*(-1)² + b*(-1) + c
1 = a*1 + b*(-1) + c
1 = a - b + c ---- ou, o que é a mesma coisa;
a - b + c = 1        . (III).

ii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III) e que são estas:

a + b + c = 9          . (I)
4a - 2b + c = 9      . (II)
a - b + c = 1          . (III)

ii.a) Faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (I) e (III), ficando assim:

a + b + c = 9 --- [esta é a expressão (I) normal]
a - b + c = 1 --- [esta é a expressão (III) normal]
------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
2a+0+2c = 10 --- ou apenas:
2a + 2c = 10 --- para facilitar, dividiremos os dois membros pro "2", ficando:
a + c = 5     . (IV)

ii.b) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "2" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (II). Assim teremos:

2a + 2b + 2c = 18 ---- [esta é a expressão (I) multiplicada por "2"]
4a - 2b + c = 9 ------ [esta é a expressão (II) normal]
--------------------------------- somando membro a membro, teremos:
6a + 0 + 3c = 27 --- ou apenas:
6a + 3c = 27 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "3", com o que ficaremos assim:

2a + c = 9     . (V)

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (IV) e (V) e que são estas:

a + c = 5      . (IV)
2a + c = 9     . (V)

iii.a) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (IV) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (V). Assim:

-a - c = - 5 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-1"]
2a+c = 9 ----- [esta é a expressão (V) normal]
------------------- somando membro a membro, teremos:
a+0 = 4 ----ou, o que é a mesma coisa:
a = 4 <--- Este será o valor do termo "a" da função f(x) = ax²+bx+c.

iii.b) Agora, para encontrar o valor do termo "c" iremos ou na expressão (IV) ou na expressão (V). Vamos na expressão (IV), que é esta:

a + c = 5 ----- substituindo-se "a" por "4", conforme encontramos acima, temos:

4 + c = 5
c = 5-4
c = 1 <--- Este é o valor do termo "c" da função f(x) = ax²+bx+c.

iii.c) Agora vamos em uma das primeiras expressões [ou na (I), ou na (II), ou na (III)] e, em, quaisquer uma delas, substituiremos os valores de "a" por "4" e de "c" por "1" e encontramos o valor do termo "b".
Vamos na expressão (I), que é esta:

a + b + c = 9 ---- substituindo-se "a" por "4" e "c" por "1", teremos:
4 + b + 1 = 9 --- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro:
b + 5 = 9
b = 9 - 5
b = 4 <--- Este é o valor do termo "b" da função f(x) = ax²+bx+c.

iv) Assim, o polinômio do segundo grau f(x) = ax²+bx+c será este, após substituirmos "a" por "4"; substituirmos "b" também por "4" e substituirmos  "c" por "1":

f(x) = ax² + bx + c ----- fazendo-se as devidas substituições, temos:
f(x) = 4*x² + 4*x + 1 --- ou apenas:
f(x) = 4x² + 4x + 1 <--- Esta é a resposta. Este é o polinômio do 2º grau procurado.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.