Question

Completando quadrados, Resolva. Ajuda me pfv

x²+6x+4=0

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-3 - \sqrt{5},\,- 3 + \sqrt{5}\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}$

Seja a equação do segundo grau:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + 4 = 0\end{gathered}$

Para começar a operação de completar quadrados, devemos passar o termo independente para o segundo membro:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x = -4\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + \bigg(\frac{6}{2}\bigg)^{2} = - 4 + \bigg(\frac{6}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} + 6x + \frac{6^{2}}{2^{2}} = -4 + \frac{6^{2}}{2^{2}}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + \frac{36}{4} = -4 + \frac{36}{4}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + 9 = -4 + 9\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + 9 = 5\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 3)^{2} = 5\end{gathered}$

Se o intuito da questão é resolver a equação completando quadrados, então temos:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + 3 = \pm\sqrt{5}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = -3\pm\sqrt{5}\end{gathered}$

Obtendo as raízes temos:

                           $\Large\begin{cases} x' = -3 -\sqrt{5}\\x'' = -3 + \sqrt{5}\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \{-3 -\sqrt{5},\,-3 + \sqrt{5}\}\end{gathered} }$

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