Question

As medidas dos lados de um triângulo estão em PG.Seu perímetro é 38cm e o produto dos números que expressam as medidas dos lados é 1.728 .Usando a fórmula de herao calcule a área desse triângulo

Answer 1

PG ⇒ um termo ao quadrado é o produto do antecedente pelo consequente
Seja "a" "b" e "c" respectivamente os  1º  2º e 3º termos
então b² = ac
se abc = 1728 (proposta da questão)
⇒ b³ = 1728 ⇒ b = ∛1728 ⇒ b = 12
b² = ac ⇒ ac = 12² ⇒ac = 144
a + b + c = 38 (proposta da questão)
a + c = 38 - 12  ⇒ a + c = 26
teremos o sistema
a + c =  26
ac = 144
a(26 - a) = 144
26a - a² = 144
a² - 26a + 144 = 0
a = _26 +-√[(26)² - 4(1)(144)]_
                      2(1)
a = _ 26 +-√(676 - 576)_
                       2
a = _26 +- 10_
              2
a' = _26 + 10_ ⇒ a' = 36/2 ⇒ a' = 18
             2
a'' = _26 - 10_ ⇒a'' = 16/2 ⇒ a'' = 8
               2
portanto os lados serão 8   12   e  18
aplicando a fórmula de Hierão ⇒ S = √p(p - a)(p - b)(p -c)
 onde "p" é o semi perímetro
S = √19(19 - 8)(19 - 12)(19 - 18)
S = √19×11×7×1
S = √1463
Resposta: área é √1463cm²

Answer 2

x / q +x + xq = 38

x/q * x*xq = 1728
x3 = 1728
x = √1728
x = 12
12 / q + 12 + 12q = 38
12 / q + 12q = 38 - 12
12/ q + 12q = 26
12 + 12q2 = 26p
12q2 - 26q + 12 = 0
∆ = 676 -576
∆ = 100
q1 = 26 + 10 /24
q1 = 36 / 24
q1 = 6 / 4
q1= 3/2
Q2 =26 - 10 / 24
Q2 = 16 / 24
Q2 = 2 /3

Fazendo a substituição com qualquer um dos valores encontrados ou de q1 ou Q2 temos:
x/q , x e xq
12 / 3/2 , 12 e 12* 3/2
8 , 12 e 18
Os lados do triângulos são:

8 , 12 e 18
agora usar a fórmula de verão para encontrar a área:

P = semiperimetro (metade do perímetro )
como os lados do triângulos são 8, 12 e 18 o valor de P = 8 +12+18 / 2. =38 / 2 = 19 , então o valor de P = 19.

A = raiz quadrada de :
19(19 - 8) * (19 - 12) * ( 19- 18)
A= 19* 11* 7* 1
A =209 * 7
A = √1463
A = aproximadamente 38cm2