Question

Desafio ⇒ Geometria Espacial na FUVEST (adaptado)

Na pirâmide ABCDE :

AB = CD = √3/2;

AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1;

AP = DQ = 1/2...

Determine :

a) BP;
b) A área de BCQP;
c) A área de BCD;
d) O volume de BPQCE;
e) O volume de ABCDPQ.

Answer 1

OBS: Para facilitar a compreensão da resolução, desenhei figuras que serão colocadas aqui junto com a resposta:

Letra A:
Para resolver essa letra A, usei relações métricas do triângulo e trigonometria. Veja a figura para entender a resolução.

Usei o triângulo retângulo EAO para calcular o cosseno do ângulo EÂO:
$\boxed{cos\beta=\frac{AO}{AE}}$
$\boxed{cos\beta=\frac{AO}{1}*\frac{1}{AE}}$
$\boxed{cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{4}*\frac{1}{1}}$
$\boxed{cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{4}}$

Com o cosseno dessa ângulo descoberto, usei lei dos cossenos no triângulo APB para descobrir a medida do lado BP:

$BP^2=AP^2+AB^2-2*AP*AB*cos\beta$
$\boxed{BP^2=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-2*\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{4}}$
$\boxed{BP^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\frac{3}{8}}$
$\boxed{BP^2=\frac{5}{8}}$
$\boxed{BP=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}}$
$\boxed{BP=\frac{\sqrt{10}}{4}}~~(Racionalizado)$

$\boxed{Resposta-A:BP=\frac{\sqrt{10}}{4}}}$

Letra B: Percebe-se que a figura formada pelo quadrilátero BCPQ é um trapézio equilátero, sendo o seguimento PQ a base to triângulo equilátero EPQ que é semelhante ao triângulo também equilátero EAD. Com isso, temos o seguimento PQ que, para evitar prolongamento da resolução, mostrarei como cheguei ao valor dele por ser encontrado por uma simples semelhança de triângulos.

Descobrindo a altura do trapézio equilátero:
$QT^2+TC^2=QC^2$
$\boxed{QT^2+(\frac{1}{4})^2=(\frac{\sqrt{10}}{4})^2}$
$\boxed{QT^2+\frac{1}{16}=\frac{10}{16}}$
$\boxed{QT^2=\frac{10}{16}-\frac{1}{16}}$
$\boxed{QT^2=\frac{9}{16}}$
$\boxed{QT=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}}$
$\boxed{QT=\frac{3}{4}}$

Descoberta a altura, é descobrir a área do trapézio agora:
$\boxed{S_{trap}=\frac{(B+b)*h}{2}}$
$\boxed{S_{trap}=(B+b)*h*\frac{1}{2}}$
$\boxed{S_{trap}=(1+\frac{1}{2})*\frac{3}{4}*\frac{1}{2}}$
$\boxed{S_{trap}=\frac{3}{2}*\frac{3}{4}*\frac{1}{2}}$

$\boxed{Resposta-B:S_{trap}=\frac{9}{16}}$

Letra D:
Agora temos uma pirâmide tendo como base um trapézio, o qual já teve sua área calculada:

Descobrido a altura da pirâmide:
$\boxed{ER=l*\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\boxed{ER=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\boxed{ER=\frac{\sqrt{3}}{4}}$

Agora calculando o volume:
$\boxed{V_{m}=\frac{1}{3}*S_{trap}*H}$
$\boxed{V_{m}=\frac{1}{3}*S_{trap}*ER}$
$\boxed{V_{m}=\frac{1}{3}*\frac{9}{16}*\frac{\sqrt{3}}{4}}$
$\boxed{V_{m}=\frac{1}{1}*\frac{3}{16}*\frac{\sqrt{3}}{4}}$

$\boxed{Resposta-D:V_{m}=\frac{3\sqrt{3}}{64}}$

Letra E: Agora o volume que se pede nessa letra é igual ao volume total subtraído pelo volume da letra anterior.

Calculando o volume total.
Para fazer isso é necessário descobrir a altura da pirâmide que é igual a um dos catetos do triângulo retângulo que se forma dentro da pirâmide. Ver figura.

$\boxed{EU=l*\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\boxed{EU=1*\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\boxed{EU=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\boxed{SU=\frac{1}{2}*AB}$
$\boxed{SU=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\boxed{SU=\frac{\sqrt{3}}{4}}$

$ES^2+SU^2=EU^2$
$ES^2=EU^2-SU^2$
$\boxed{ES^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{4})^2}$
$\boxed{ES^2=\frac{3}{4}-\frac{3}{16}}$
$\boxed{ES^2=\frac{9}{16}}$
$\boxed{ES=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}}$
$\boxed{ES=\frac{3}{4}~~(altura)}$

Agora o volume total da pirâmide:
$\boxed{V_{T}=\frac{1}{3}*Sb*H}$
$\boxed{V_{T}=\frac{1}{3}*1*\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{3}{4}}$
$\boxed{V_{T}=\frac{1}{1}*1*\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{1}{4}}$
$\boxed{V_{T}=\frac{\sqrt{3}}{8}}$

Agora o volume da figura que se pede nessa letra é a subtração do volume total com o volume da letra anterior:
$V_{R}=V_{T}-V_{m}$
$\boxed{V_{R}=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{64}}$
$\boxed{V_{R}=\frac{8\sqrt{3}}{64}-\frac{3\sqrt{3}}{64}}$

$\boxed{Resposta-E:V_{R}=\frac{5\sqrt{3}}{64}}$

Acho que é isso.
PS: De onde você tira essas questões?