Question

o conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?

Answer 1

Primeiramente, note que, a ordem de escolha dos componentes do conselho não importa.

Utilizamos a ideia de combinação. O número de maneiras de escolher $k$ pessoas entre $n$ é $\dbinom{n}{k}$.

Com isso, temos $\dbinom{5}{2}$ maneiras de escolher 2 professores entre 5.

Analogamente, há $\dbinom{30}{3}$ modos de escolher 3 alunos entre 30.

A resposta é $\dbinom{5}{2}\cdot\dbinom{30}{3}=10\cdot4~060=40.600$.

Answer 2

Bom Dia!

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• O primeiro passo é verificar se a ORDEM do elementos importa ou não, essa definição classifica Arranjo simples ou combinação simples.

Lembre-se:

Arranjo simples → A ordem importa (A, B) ≠ (B, A)

Combinação simples → A ordem não importa → (A, B) = (B, A)

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Vamos usar os professores para descobrir se a ORDEM importa ou não.

> Existem duas vagas

Vamos supor que as pessoas que se candidataram foram; (A, B, C, D, E)

A → João

B → Maria

> Supondo que na seleção dentre os 5 candidatos, João e Maria sejam os selecionados.

Veja bem; (João e Maria) é o mesmo agrupamento que (Maria e João), ou seja, nesse caso a ORDEM não importa.

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A questão é de combinação simples.

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• O enunciado pede a escolha de 2 professores dentro de 5 candidatos → C(5, 2)
• O enunciado pede a escolha de 3 alunos dentro de 30 candidatos → (30, 3)

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Professores:

C(n,p)=n!/(n-p)!p!

C(5,2)=5!/(5-2)!2!

C(5,2)=5!/3!2!

C(5,2)=5×4×3!/3!2!

C(5,2)=20/2×1

C(5,2)=20/2

C(5,2)=10

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Alunos:

C(n,p)=n!/(n-p)!p!

C(30,3)=30!/(30-3)!3!

C(30,3)=30!/27!3!

C(30,3)=30×29×28×27!/27!3!

C(30,3)=30×29×28/3!

C(30,3)=24360/3×2×1

C(30,3)=24360/6

C(30,3)=4060

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• A questão não quer exatamente a disposição de escolhas individuais, ou seja, Aluno-professor. Na verdade busca a quantidade total de maneiras dessa "equipe" está formado pelos seus 5 membros.

C(5,2)×C(30,3) → 10×4060 = 40.600 maneiras distintas

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Att;Guilherme Lima