Question

Determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular á reta r em cada um dos seguintes casos:

a) P ( 2,6) e equação de r: 2x-y+3=0

b) P (-3, 2) e equação de r: 3x+4y-4=0

Answer 1

a) P ( 2,6) e equação de r: 2x-y+3=0

1.Definir a equacao reduzida da reta r:
y = 2x +3

2.Obter o coeficiente angular da reta r, que eh o coeficiente de x:
M(r) = 2

3.Calcular o coeficiente da reta perpendicular (z):
M(z) = -1 / M(r) => -1 / 2

4.Definir a equacao da reta "z", usando o ponto que temos = Ponto(2,6)

y - y0 = m(x - x0)
y - 6 = -1/2.(x - 2)
y - 6 = -x/2 + 1 (mmc)
y - 6 = 2-x+1 /2
2.(y - 6) = -x + 3
2y - 12 = -x + 3

reta z => x +2y -15 = 0


b) P (-3, 2) e equação de r: 3x+4y-4=0

1. Definir a equacao reduzida da reta r:
4y = -3x +4
y = -3x/4 + 1

2.Obter o coeficiente angular da reta r, que eh o coeficiente de x:
M(r) = -3/4

3.Calcular o coeficiente da reta perpendicular:
M(z) = -1 / M(r) => -1 / (-3/4) => -1 * 4/-3 = 4/3

4.Definir a equacao da reta "z", usando o ponto que temos = Ponto(-3,2)

y - y0 = m(x - x0)
y - 2 = 4/3.(x - -3)
y - 2 = 4/3.(x + 3)
y - 2 = 4x/3 + 4 (mmc)
y - 2 = (12 + 4x) / 3
3.(y - 2) = 4x + 12
3y - 6 = 4x + 12

reta z => 4x -3y +18 =0

Answer 2

As equações das retas que passam por P e são perpendiculares a r são: a) x + 2y = 14, b) 4x - 3y = -18.

a) O vetor normal da reta r: 2x - y + 3 = 0 é u = (2,-1).

Para determinarmos a equação da reta perpendicular à r, vamos definir o seu vetor normal.

Para isso, basta trocar as coordenadas do vetor u e trocar o sinal de uma das coordenadas. Por exemplo, v = (1,2).

Assim, a reta perpendicular é da forma x + 2y = c.

Para definirmos o valor de c, basta substituir o ponto P = (2,6) na equação acima:

2 + 2.6 = c

2 + 12 = c

c = 14.

Portanto, a equação da reta é x + 2y = 14.

b) O vetor normal da reta r: 3x + 4y - 4 = 0 é u = (3,4).

Então, o vetor normal da reta perpendicular pode ser v = (4,-3).

Assim, a equação da reta é da forma 4x - 3y = c.

Substituindo o ponto P = (-3,2) na equação acima:

4.(-3) - 3.2 = c

-12 - 6 = c

c = -18.

Portanto, a equação da reta perpendicular é 4x - 3y = -18.

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