Question

 A soma de dois números inteiros positivos, x e y, é 40. Sabendo-se que mmc(x,y).mdc(x,y)=375, a diferença positiva desses números é: 

5. 
10.
 15.
 20.
 25.
35.

Answer 1

Dados dois inteiros $a$ e $b$, temos que, $\text{mdc}(a,b)\cdot\text{mmc}(a,b)=ab$.

Pelo enunciado, $x+y=40$ e $\text{mdc}(x,y)\cdot\text{mmc}(x,y)=375$.

Com isso, $xy=375$. Da primeira equação, tiramos que, $x=40-y$.

Substituindo na segunda, $(40-y)y=375$, ou seja, $-y^2+40y-375=0$.

$\Delta=40^2-4\cdot(-1)(-375)=1~600-1~500=100$

$y=\dfrac{-40\pm\sqrt{100}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-40\pm10}{-2}$

$y'=\dfrac{-40+10}{-2}=\dfrac{-30}{-2}=15$ e $x=40-15=25$.

$y"=\dfrac{-40-10}{-2}=\dfrac{-50}{-2}=25$ e $x=40-25=15$.

Os números são 15 e 25. A diferença pedida é $25-15=10$.