Question

Se x é um arco do primeiro quadrante e cos = 2/3, assinale o que for correto:

01) sen (x - π) = - √5/3 02) tg (x + π) = √5/2 04) sen 2x = 4.√5/9
08)cos 2x = -1/9 16) cos (x + π/2) = -2/3

Se possível com o desenvolvimento pessoal. Valeu pra quem ajudar!

Answer 1

Já é possível perceber que vamos precisar do sen x. Portanto, vamos encontra-lo

$\mathsf{sen^{2}x+cos^{2}x=1}\\\\\\ \mathsf{sen^{2}x+\left( \dfrac{2}{3} \right)^{2}=1}\\\\\\ \mathsf{sen^{2}x+ \dfrac{4}{9}=1}\\\\\\ \mathsf{sen^{2}x=1- \dfrac{4}{9}}\\\\\\ \mathsf{sen^{2}x= \dfrac{5}{9}}\\\\\\ \mathsf{sen\ x=\pm \dfrac{ \sqrt{5}}{3}}\quad \textsf{(como \'e no primeiro quadrante)}\\\\\\ \mathsf{sen\ x=+ \dfrac{ \sqrt{5}}{3}}$

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Portanto

     •  sen x = √5 / 3

     •  sen² x = 5 / 9

     •  cos x = 2 / 3

     •  cos² x = 4 / 9


01)

Usando a identidade trigonométrica da soma dos valores de seno

$\boxed{\mathsf{sen(a-b)=sen\ a\cdot cos\ b-sen\ b\cdot cos\ a}}$


$\mathsf{sen(x-\pi)=sen\ x\cdot cos\ \pi-sen\ \pi\cdot cos\ x}\\\\\\ \mathsf{sen(x-\pi)= \dfrac{ \sqrt{5} }{3}\cdot (-1)-0\cdot cos\ x}\\\\\\ \mathsf{sen(x-\pi)= -\dfrac{ \sqrt{5} }{3}}$


Verdadeiro


02)

Como o período da função tg é igual a π: tg (x+π) = tg x

$\mathsf{tg\ x= \dfrac{sen\ x}{cos\ x}}\\\\\\ \mathsf{tg\ x= \dfrac{ \sqrt{5}/3}{2/3}}\\\\\\ \mathsf{tg\ x= \dfrac{ \sqrt{5}}{2}}$


Verdadeiro


04)

Usando a identidade trigonométrica do arco duplo de seno

$\boxed{\mathsf{sen\ 2x=2\cdot sen\ x\cdot cos\ x}}$


$\mathsf{sen\ 2x=2\cdot \dfrac{ \sqrt{5} }{3} \cdot \dfrac{2}{3} }\\\\\\ \mathsf{sen\ 2x= \dfrac{ 4\sqrt{5} }{9}}$


Verdadeiro


08)

Usando a identidade trigonométrica do arco duplo de cosseno

$\boxed{\mathsf{cos\ 2x=cos^{2}x-sen^{2}x}}$


$\mathsf{cos\ 2x= \dfrac{4}{9} - \dfrac{5}{9}}\\\\\\ \mathsf{cos\ 2x= -\dfrac{1}{9}}$


Verdadeiro


16)

Usando a identidade trigonométrica da soma dos valores de cosseno

$\boxed{\mathsf{cos\ (a+b)=cos\ a\cdot cos\ b-sen\ a\cdot sen\ b}}$


$\mathsf{cos\ (x+\pi/2)=cos\ x\cdot cos\ \pi/2-sen\ x\cdot sen\ \pi/2}\\\\\\ \mathsf{cos\ (x+\pi/2)= \dfrac{2}{3} \cdot 0- \dfrac{ \sqrt{5}}{3} \cdot 1}\\\\\\ \mathsf{cos\ (x+\pi/2)= - \dfrac{ \sqrt{5}}{3}}$


Falso


Bons estudos! :-)