Question

$\lim_{n \to \1 a_n$√2x -√x+1 x-1

Answer 1

$\boxed{ \lim_ {x \to 1} \frac{ \sqrt{2x}- \sqrt{x+1} } {x-1} }$

multiplica pelo conjulgado

$\boxed{\boxed{ \frac{ (\sqrt{2x}- \sqrt{x+1})* (\sqrt{2x}+ \sqrt{x+1}) } {(x-1) * (\sqrt{2x}+ \sqrt{x+1})} }}}$

quando vc multiplica pelo conjulgado vc vai ter uma diferença dos quadrados 
exemplo:
$(A-B)*(A+B)\\\\=A^2+AB -AB -B^2\\\\=A^2-B^2$

sabendo disso vou dzer que
 A = √2x
B = √x+1

o numerador ira ficar assim
$( \sqrt{2x})^2 -( \sqrt{x+1})^2 \\\\=2x-(x+1)\\\\=2x-x-1\\\\=\boxed{x-1}$

agora temos 
$\frac{ (x-1) } {(x-1) * (\sqrt{2x}+ \sqrt{x+1})} = \boxed{\frac{1}{\sqrt{2x}+ \sqrt{x+1}} }$

como é uma multiplicação vc pode cortar os semelhantes 
porque (x-1)/(x-1) = 1 (um numero dividido por ele mesmo)

agora aplicando o limite
$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{2x}+ \sqrt{x+1}}= \frac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{2} } = \frac{1}{2 \sqrt{2} }$

ou se vc quiser simplificar mais para tirar a raíz do denominador
$\frac{1*(2 \sqrt{2})}{(2 \sqrt{2})*(2 \sqrt{2}) }= \frac{2 \sqrt{2}}{4*2}= \frac{ \sqrt{2}}{4}$