Question

lim e^2x-1/x
alguem sabe como resolver estes limites, se puder resumir a tecnica deste tipo de limite fazr um ou dois, eu agradeço

Answer 1

limite fundamental:
$\bmatrix \; \lim_{x \to \infty}\left(1+ \frac{1}{x} \right)^x = e\\\\ \lim_{x \to 0}\left(1+ x} \right)^ \frac{1}{x} = e \end$
temos:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$

fazendo uma substituição de variaveis:
$u = e^{2x}-1 \to \text{quando x tende a 0 u vai tender a 0}\\\\u+1=e^{2x}\\ln(u+1)=ln(e^{2x})\\\\ ln(u+1)= 2xln(e)\\\\ ln(u+1)=2x\\\\ \frac{ln(u+1)}{2}= x$

substituindo no limite fica:

$\lim_{u \to 0} \frac{u}{ \frac{ln(u+1)}{2} } = \lim_{u \to 0}\frac{2u}{ln(u+1)} \\\\\text{dividindo o numerador e o denominador por u }\\\text{caimos no limite fundamental}\\\\ \lim_{u \to 0}\frac{2}{ \frac{ln(u+1)}{u} } \\\\ \text{aplicando a propriedade} \;\; \boxed{a*ln(b)= ln(b^a)}\\\\ \lim_{u \to 0}\frac{2}{ \frac{ln(u+1)}{u} } = \lim_{u \to 0}\frac{2}{ \frac{1}{u} *ln(u+1)} = \lim_{u \to 0}\frac{2}{ln ((u+1)^{ \frac{1}{u} } ) }$

$\\\\\text{aplicando o limite dentro do ln }\\\text{temos o limite fundamental} \\\\ \lim_{u \to 0}\frac{2}{ln ((u+1)^{ \frac{1}{u} } ) } = \frac{2}{ln(e)} = \frac{2}{1} = 2$

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
todas são o mesmo processo

d) separando em dois limites

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{3^x -1}{x^2} \\\\ = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{3^x -1}{x}* \frac{1}{x}\\\\ = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{3^x -1}{x} * \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \\\\ = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{3^x -1}{x} * \infty = \infty$

substituição
$u = 3^x-1\\ u+1= 3^x\\\\ln(u+1)= ln(3^x)\\\\ln(u+1)=x*ln(3)\\\\ \frac{ln(u+1)}{ln(3)}= x$