Question

Qual é o mdc de dois números quadrados perfeitos consecutivos não nulos?

Answer 1

É 1, pois você tem quadrados de números que são primos entre si (mdc(a,b)=1). Logo, mdc(a²,b²) = 1.

Answer 2

Resposta:

Quem são consecutivos? Os quadrados de dois números ou os dois números?

Explicação passo-a-passo:

Não existem quadrados perfeitos consecutivos a não ser 0 e 1.

Agora, se for o quadrado de dois números consecutivos, sempre teremos mdc igual a 1, pois dois números consecutivos possuem mdc igual a 1. Observe a seguir.

Sejam a e b dois números consecutivos quaisquer, com "a" maior que 1. Sem perda de generalidade, tomaremos b maior que a, ou seja, b = a + 1. Note que "a" não divide "a + 1" (exceto para a = 1). Logo, a e b são coprimos. Em outras palavras, qualquer primo que seja divisor de a e b, ao mesmo tempo, terá sua potência elevada a zero e, por isso, mdc(a,b) = 1. Ao elevarmos ao quadrado "a" e "b", estamos, na verdade, elevando ao quadrado todos esses primos de potência zero, comuns a "a" e "b". Usando a propriedade da potenciação, [(p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_i)^0]^2 = [(p_1)^0 * (p_2)^0 * (p_3)^0 * ... * (p_i)^0]^2 = 1^2 = 1.

Portanto, mdc(a^2,b^2) = 1.