Question

sendo a= -1 4
1 -3

calcule : det a elevado -1

Answer 1

$\left[\begin{array}{ccc}-1&4\\1&-3\\\end{array}\right] =(-1).(-3)-4.1=-1\\\\\\D ^{-1} =1/-1\\ = -1$

Forte abraço!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Vft, que a resolução é simples.
Tem-se: dada a matriz A abaixo, pede-se o valor do determinante da matriz A⁻¹ , ou seja, pede-se o determinante da matriz inversa da matriz A.

A = |-1....4|
.......|1.....-3|

Note que há duas formas de encontrar o valor do determinante de uma matriz inversa. Vamos ver essas duas formas.

i) 1ª forma: encontra-se o determinante da matriz A. Depois, para encontrar o valor do determinante da matriz A⁻¹, basta saber que ele será igual a:

det A⁻¹ = 1/det.A --- ou seja: o determinante da matriz inversa de A será igual a "1" sobre o determinante da matriz A.

Então vamos logo calcular o determinante da matriz A, que é esta:

A = |-1....4|
.......|1....-3| ---- calculando o determinante, teremos:

det A = (-1)*(-3) - 1*4
det A = +3 - 4
det A = - 1 <---- Este é o valor do determinante da matriz A.

Agora vamos encontrar o determinante da matriz A⁻¹, utilizando-se o que já vimos, que será:

det A⁻¹ = 1/det A ----- fazendo-se a devida substituição, teremos:
det A⁻¹ = 1/-1 --------- como 1/-1 = -1, teremos:
det A⁻¹ = - 1 <--- Este é o valor do determinante da matriz inversa de A.

ii) Segunda forma: encontra-se a matriz inversa (A⁻¹) a partir da matriz A que já foi dada acima. Vamos chamar a matriz inversa da seguinte forma:

A⁻¹ = |a....b|
..........|c....d|

Agora multiplicaremos a matriz A pela sua inversa e igualaremos à matriz identidade de mesma ordem. Assim faremos:

|-1....4|*|a....b| = |1....0|
|1....-3|*|c....d| = |0....1| ----- efetuando o produto indicado, teremos;

|-1*a+4*c....-1*b+4*d| = |1....0|
|1*a-3*c........1*b-3*d| = |0....1| ----- desenvolvendo, teremos:

|-a+4c....-b+4d| = |1....0|
|a-3c........b-3d| = |0....1|

Agora você iguala cada elemento da primeira matriz com o elemento correspondente da segunda matriz, ficando assim:

-a + 4c = 1       . (I)
-b + 4d = 0      . (II)
a - 3c = 0        . (III)
b - 3d = 1       . (IV)

Tomando-se a expressão (II), temos que:

-b + 4d = 0
-b = - 4d ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficamos:
b = 4d       . (V)

Tomando-se a expressão (III), temos que:

a - 3c = 0
a = 3c       . (VI)

Agora vamos na expressão (I), que é esta:
 
-a + 4c = 1 ---- substituindo-se "a" por "3c", conforme vimos na expressão (VI), temos:

-3c + 4c = 1 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
c = 1 <--- Este é o valor do elemento "c".

Vamos também na expressão (IV), que é esta:

b - 3d = 1 --- substituindo-se "b" por "4d", conforme vimos na expressão (V), temos:

4d - 3d = 1 ----- reduzindo os termos semelhantes:
d = 1 <---- Este é o valor do elemento "d".

Agora vamos encontrar os elementos "a" e "b". Para isso vamos nas expressões (V) e (VI), que são estas:

b = 4d     . (V)
a = 3c     . (VI)

Substituindo-se "d" por "1" e "c" também por "1" em cada uma das expressões acima, teremos:

b = 4*1 ----> b = 4
a = 3*1 ----> a = 3.

Assim, já vimos que: a = 3; b = 4; c = 1 e d = 1. Então a nossa matriz inversa será esta:

A⁻¹ = |3....4|
.........|1......1| ---- calculando o seu determinante, teremos:

det A⁻¹ = 3*1 - 1*4
det A⁻¹ = 3 - 4
det A⁻¹ = - 1 <---- Veja que o valor é o mesmo que já havíamos encontrado antes.

Claro que, pela segunda forma, é bem mais trabalhoso para encontrar o determinante da matriz inversa. Mas é importante fazermos pelas duas formas pois bem que a questão poderia ter pedido qual seria a matriz inversa de A e não apenas o seu determinante, concorda?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.