Question

Lim x⇒2 ∛×-∛2/x-2 (não pode fazer por L'ospital)

Answer 1

Tens que primeiramente lembrar que para o caso específico desse tipo de denominador, ele será igual a, mas se, e somente se, o numerador for uma diferença de cubos:

$a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$

Então temos:

$\lim_{x\to2}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2} \\ \\ \lim_{x\to2}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}).(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{2^2})}$

Eliminando os termos semelhantes:

$\lim_{x\to2}\frac{1}{(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{2^2})}$

Pronto, eliminamos a descontinuidade da função, agora já podemos substituir o valor de 2 na nova função contínua:

$\lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2.2}+\sqrt[3]{2^2}} \\ \\ \lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}}$

Como a ∛4 aparece 3 vezes, então temos:

$\lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}} =\frac{1}{3\sqrt[3]{4}}$