Question

No plano cartesiano, o triângulo de vertices A=(1, -2) B=(m,4) e C (0,6) é retangulo em A. O valor de m é igual a;
A)47
B)48
C)49
D)50
E)51

Answer 1

Oi Wladimir.

Se ele é retângulo em A, BC é a hipotenusa.

$A(1,-2)\quad B(m,4)\quad C(0,6)\\ \\ BC^{ 2 }=AC^{ 2 }+AB^{ 2 }$

$AC^{ 2 }=(0-1)^{ 2 }+(6+2)^{ 2 }\Rightarrow (-1)^{ 2 }+(8)^{ 2 }\Rightarrow 1+64\Rightarrow 65$

$AB^{ 2 }=(m-1)^{ 2 }+(4+2)^{ 2 }\Rightarrow (m^{ 2 }-2m+1)+(6)^{ 2 }$
$\Rightarrow m^{ 2 }-2m+1+36\Rightarrow m^{ 2 }-2m+37$

$BC^{ 2 }=(0-m)^{ 2 }+(6-4)^{ 2 }\Rightarrow (-m)^{ 2 }+(2)^{ 2 }\Rightarrow m^{ 2 }+4$


$m^{ 2 }+4=m^{ 2 }-2m+37+65\\ 4=-2m+37+65\\ 2m=102-4\\ 2m=98\\ m=\frac { 98 }{ 2 } \Rightarrow 49$

Answer 2

O valor de m é igual a 49.

Podemos utilizar vetores para resolver o exercício proposto.

O enunciado nos informa que o triângulo ABC é retângulo em A. Isso significa que os vetores AB e AC são perpendiculares.

Dois vetores são perpendiculares quando o produto interno entre eles é igual a zero.

Vamos determinar os vetores AB e AC.

Dados os pontos A = (1,-2), B = (m,4) e C = (0,6), temos que:

AB = (m,4) - (1,-2)

AB = (m - 1, 4 + 2)

AB = (m - 1, 6)

e

AC = (0,6) - (1,-2)

AC = (-1, 6 + 2)

AC = (-1, 8).

Calculando o produto interno entre AB e AC e igualando a zero, obtemos o valor de m:

<AB, AC> = 0

(m - 1).(-1) + 6.8 = 0

-m + 1 + 48

-m + 49 = 0

m = 49.

Portanto, a alternativa correta é a letra c).

Exercício sobre produto interno: https://brainly.com.br/tarefa/18685451