Question

pergunta urgente: o número de soluções de equação: |sen2x|=|cosx|, no intervalo [0,2pi] é:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica

     |sen(2x)| = |cos(x)|

no intervalo  [0, 2π].

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     |sen(2x)| = |cos(x)|


Os módulos são iguais se, e somente se, os quadrados são iguais:

      sen²(2x) = cos²(x)

      [sen(2x)]² = cos²(x)


Use a identidade do seno do arco duplo no lado esquerdo:

     •   sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)


e a equação fica

      [2 sen(x) cos(x)]² = cos²(x)

      4 sen²(x) cos²(x) = cos²(x)

      4 sen²(x) cos²(x) – cos²(x) = 0

      [4 sen²(x) – 1] · cos²(x) = 0   <———   equação-produto.


Então devemos ter,

     4 sen²(x) – 1 = 0     ou     cos²(x) = 0

     4 sen²(x) = 1     ou     cos²(x) = 0

     sen²(x) = 1/4     ou     cos²(x) = 0

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Em equações que envolvem as funções trigonométricas seno e cosseno elevadas ao quadrado, a resolução pode ficar muito mais simples se usarmos as seguintes identidades:

     •   sen²(x) = (1/2) · [1 – cos(2x)]

     •   cos²(x) = (1/2) · [1 + cos(2x)]


Essas identidades são facilmente obtidas ao combinarmos o cosseno do arco duplo com a Relação Trigonométrica Fundamental:

     •   cos²(x) – sen²(x) = cos(2x)

     •   cos²(x) + sen²(x) = 1

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Vamos resolver cada equação separadamente:

•   sen²(x) = 1/4

     (1/2) · [1 – cos(2x)] = 1/4

     1 – cos(2x) = 1/2

     cos(2x) = 1 – (1/2)

     cos(2x) = 1/2

    cos(2x) = cos(π/3)

     2x = ± π/3 + k · 2π


Dividindo os dois lados por  2,

     x = ± π/6 + k · π     (i)

com  k  inteiro.

... ou ...


•   cos²(x) = 0

     cos(x) = 0

     x = π/2 + k · π     (ii)

com  k  inteiro.

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Então, por  (i)  e  (ii),  temos

     x = ± π/6 + k · π     ou     x = π/2 + k · π


Como queremos apenas as soluções no intervalo  [0, 2π], devemos fazer mais uma análise:

•  Para  k < 0,  nenhum dos valores de  x  caem no intervalo  [0, 2π].

•  Para  k = 0:

     x = π/6     ou     x = – π/6  (não serve)     ou     x = π/2

     x = π/6     ou     x = π/2


•  Para  k = 1:

     x = π/6 + π     ou     x = – π/6 + π     ou     x = π/2 + π

     x = 7π/6     ou     x = 5π/6     ou     x = 3π/2


•  Para  k = 2:

     x = π/6 + 2π     ou     x = – π/6 + 2π     ou     x = π/2 + 2π

     x = 13π/6  (não serve)     ou     x = 11π/6     ou     x = 5π/2  (não serve)

     x = 11π/6


•  Para  k > 2,  nenhum dos valores de  x  caem no intervalo  [0, 2π].

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Logo, o conjunto solução é

     S = {π/6, π/2, 5π/6, 7π/6, 3π/2, 11π/6}

e este conjunto possui  6  elementos.


Resposta:  alternativa  D)  6.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

6 soluções

Explicação passo-a-passo: