Question

1-) Dado sen x = 1/3 com pi/2 < x < 3pi/2 determine o valor da cotg x.

Answer 1

Dado  sen x = 1/3,  com  π/2 < x < 3π/2,  determine o valor de  cotg x.

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Por definição de cotangente, temos que

     $\mathsf{cotg\,x=\dfrac{cos\,x}{sen\,x}}$


Elevando os dois lados ao quadrado,

     $\mathsf{cotg^2\,x=\dfrac{cos^2\,x}{sen^2\,x}}$


Mas  cos² x = 1 – sen² x.  Substituindo, ficamos com

    $\mathsf{cotg^2\,x=\dfrac{1-sen^2\,x}{sen^2\,x}}$


Agora,  substitua o valor conhecido  sen x = 1/3:

     $\mathsf{cotg^2\,x=\dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{\!2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{\!2}}}\\\\\\ \mathsf{cotg^2\,x=\dfrac{1-\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}}}$


Para simplificar, multiplique o numerador e o denominador por  9:

     $\mathsf{cotg^2\,x=\dfrac{\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdot 9}{\frac{1}{9}\cdot 9}}\\\\\\ \mathsf{cotg^2\,x=\dfrac{9-1}{1}}\\\\\\ \mathsf{cotg^2\,x=8}\\\\ \mathsf{cotg\,x=\pm\sqrt{8}}\\\\ \mathsf{cotg\,x=\pm\,\sqrt{2^2\cdot 2}}\\\\ \mathsf{cotg\,x=\pm \,2\sqrt{2}}$


Observe o seguinte.  O seno de  x  é positivo,  e  π/2 < x < 3π/2.  Logo, podemos concluir que  x  está no  2º quadrante, de modo que a cotangente de  x  é negativa.  Portanto,

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{cotg\,x=-\,2\sqrt{2}}\end{array}}$     ⮜————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)