Question

1- Dados os pontos C=(3,-3) e D=(4,1), vetor v=(6,8) e A=(x,1) determine:

a) O vetor unitário de mesma direção e sentido que o vetor CD.

b) "x" para que o vetor AD seja ortogonal ao vetor v.

Answer 1

a) O versor de um vetor "v" qualquer, não nulo, é um vetor unitário (possui tamanho ou módulo igual a 1) que possui a mesma direção e o mesmo sentido de "v". O versor de "v" é determinado pela fórmula seguinte, e o nosso vetor CD será D-C = (4,1)-(3,-3) = (1,4).

$u=\frac{V}{||V||} \\ \\ u=\frac{(1,4)}{\sqrt{1^2+4^2}} \\ \\ u=\frac{(1,4)}{\sqrt{1+16}} \\ \\ u=\frac{(1,4)}{\sqrt{17}} \\ \\ u=\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}} \\ \\ u=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}}\end{array}\right)$

Provando:

$u=(\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}}) \\ \\ u=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{17}})^2+(\frac{4}{\sqrt{17}})^2} \\ \\ u=\sqrt{\frac{1}{17}+\frac{16}{17}} \\ \\ u=\sqrt{\frac{1+16}{17}} \\ \\ u=\sqrt{\frac{17}{17}} \\ \\ u=\sqrt{1} \\ \\ u=1$

b) Nosso vetor AD será D-A = (4,1)-(x,1) = (4-x,0) e para esse vetor "u" ser ortogonal a "v", o produto entre eles deve ser igual a zero:

$u.v= \\ \\ (4-x,0).(6,8)=0 \\ \\ 6(4-x)+0.8=0 \\ \\ 24-6x=0 \\ \\ -6x=-24 \\ \\ x=\frac{-24}{-6} \\ \\ x=4$

Provando:

$(4-x,0)(6,8)= \\ \\ (4-4,0)(6,8)= \\ \\ (0,0)(6,8)= \\ \\ 0.6+0.8=0$