PROBABILIDADE:
Em uma clínica, trabalham 8 médicos e 10 enfermeiros. Uma comissão formada por 4 médicos e 3 enfermeiros deve ser formada. Sabendo que existem 2 enfermeiros que, por razões de ordem pessoal, não podem fazer parte da mesma comissão, quantas comissões podem ser formadas?
A) 7.800
B) 7.810
C) 7.820
D) 7.830
E) 7.840
Respostas
C(n,p) ⇒ Combinação de n "fatores" em "p" espaços;
"!" ⇒ Fatorial;
Como, para formar comissões, a ordem das pessoas não importa, utilizamos a combinação.
Para os médicos ⇒
São 8 médicos para 4 vagas. As combinações possíveis são :
C(8,4) = 8! / ((8-4)! * 4!)
C(8,4) = 8! / (4! * 4!)
C(8,4) = 8 * 7 * 6 * 5 * 4! / (4! * 4!)
C(8,4) = 8 * 7 * 6 * 5 / 4! ⇒ (4! → 4 * 3 * 2 * 1 = 24)
C(8,4) = 8 * 7 * 6 * 5 / 24 ⇒ Simplificando (8*6 = 48) com 24 :
C(8,4) = 2 * 7 * 5
C(8,4) = 70 combinações possíveis para os médicos !
Para os enfermeiros ⇒
Temos dois enfermeiros que não podem estar na mesma comissão. Chamamos esses dois enfermeiros de "A" e de "B".
Há três situações possíveis a serem consideradas e somadas :
→ Quando A está na comissão (e consequentemente B não está);
→ Quando B está na comissão (e consequentemente A não está);
→ Quando nem A nem B estão.
Quando A está →
Há 3 vagas para enfermeiros. Vamos considerar as comissões em que A já está incluso.
Logo, com A já incluso, sobram 2 vagas. Dos 10 enfermeiros, tiramos A e também B (que não pode fazer parte dessa comissão). Então, sobram (10 - 2) = 8 enfermeiros para serem combinados nessas 2 vagas restantes :
C(8,2) = 8! / ((8 - 2)! * 2!)
C(8,2) = 8! / (6! * 2!)
C(8,2) = 8 * 7 * 6! / (6! * 2!)
C(8,2) = 8 * 7 / 2! ⇒ (2! → 2 * 1 = 2)
C(8,2) = 8 * 7 / 2
C(8,2) = 28 combinações possíveis com A incluso !
Quando B está →
Temos a mesma situação de que quando A está na comissão, só invertendo que agora é B quem fica na comissão e A que fica de fora. Logo, temos :
C(8,2) = 28 combinações possíveis com B incluso !
Quando nem A nem B estão →
Dos 10 enfermeiros, já tiramos 2. Então fica 8 enfermeiros para serem combinados em 3 vagas :
C(8,3) = 8! /((8 - 3)! * 3!)
C(8,3) = 8! / (5! * 3!)
C(8,3) = 8 * 7 * 6 * 5! / (5! * 3!) ⇒ (3! → 3 * 2 *1 = 6)
C(8,3) = 8 * 7 * 6 * 5! / (5! * 6)
C(8,3) = 8 * 7
C(8,3) = 56 combinações possíveis sem A e sem B !
Logo, o número possíveis de combinações para os enfermeiros :
C(8,2) + C(8,2) + C(8,3) =
28 +28 + 56 =
112 combinações possíveis para os enfermeiros...
Para formar as comissões ⇒
C(8,4) * (C(8,2) + C(8,2) + C(8,3)) =
70 * 112 =
7840 combinações possíveis para formar as comissões ! (Logo, alternativa "E)").
O número de comissões que podem ser formadas é de E) 7.840. Para chegar a esse valor, é necessário possuir conhecimentos de análise combinatória e fazer o cálculo de duas combinações simples.
O que é uma combinação simples?
Esse é um problema que envolve a combinação simples. Esse tipo de análise combinatória desconsidera a ordem em que os elementos estão dispostos em um grupo. Ou seja, um grupo ordenado de várias formas diferentes continua sendo uma só combinação.
A combinação simples de n elementos tomados de p a p é dada por:
C(n,p) = n!/p!*(n-p)!
A comissão a que a questão se refere será formada por um grupo de médicos e um grupo de enfermeiros
Para os 8 médicos, devemos saber quantos grupos podem ser formados por 4 deles.
Para cada combinação de médicos, haverá várias possibilidades de combinações dos 10 enfermeiros em grupos de 3.
O produto do número de combinações de médicos pelo número de combinações de enfermeiros será o resultado.
- Calculando primeiramente o número de combinação de médicos:
Se são 8 médicos para saber de quantas formas diferentes podemos formar grupos de 4 , temos:
C(8,4) = 8!/4!*(8-4)!
C(8,4) = 8*7*6*5*4!/4!*4!
C(8,4) = 8*7*6*5/4!
C(8,4) = 1680/24
C(8,4) = 70
Ou seja, existem 70 possibilidades de formar grupos de 4 médicos com os 8 médicos da clínica.
- Agora calculando o número de combinação de enfermeiros:
Sendo 10 enfermeiros, para calcular de quantas formas diferentes podemos formar um grupo de 3 enfermeiros, fazemos:
C(10,3) = 10!/3!*(10-3)!
C(10,3) = 10*9*8*7!/3!*7!
C(10,3) = 10*9*8/3!
C(10,3) = 720/6
C(10,3) = 120
Assim, são 120 possibilidades de formar um grupo de 3 enfermeiros.
No entanto, 2 deles não podem fazer parte da mesma comissão, por isso, devemos subtrair dos 120 a quantidade de possibilidades deles estarem no mesmo grupo.
O número de formas desses dois enfermeiros estarem no mesmo grupo é de 8, pois, para o terceiro integrante do grupo, sobram 8 enfermeiros. Assim, o total de grupos possíveis de enfermeiros é:
120 - 8 = 112
Dessa forma, o número de comissões que podem ser formadas é de:
70*112 = 7840
Para aprender mais sobre combinação simples, acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/31661661
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