Question

Resolva as equações:

a) se$n^{2}$x= 0
b) sen3x= 1

Answer 1

Resolver as equações trigonométricas:

a)  sen²(x) = 0

•   Forma 1:

     sen²(x) = 0

     sen(x) = 0


e como  0 = sen(0),  a equação fica

     sen(x) = sen(0)


Acima temos uma igualdade entre senos. Lembrando que arcos suplementares têm o mesmo seno, podemos escrever que

     x = 0 + k · 2π     ou     x = (π – 0) + k · 2π

     x = 0 + k · 2π     ou     x = π + k · 2π

     x = k · 2π     ou     x = π · (1 + 2k)

     x = π · (2k)     ou     x = π · (2k + 1)

com  k  inteiro.

Observe que as soluções são todos os múltiplos inteiros de  π.


•  Forma 2:

Embora não seja necessário aqui, sempre que temos  "seno ao quadrado" ou  "cosseno ao quadrado",  podemos usar as seguintes identidades trigonométricas:

     •  sen²(x) = (1/2) · [1 – cos(2x)]     (i)

     •  cos²(x) = (1/2) · [1 + cos(2x)]     (ii)


Elas são facilmente obtidas combinando as identidades do cosseno do arco duplo, e a Relação Trigonométrica fundamental:

     •   cos²(x) – sen²(x) = cos(2x)

     •   cos²(x) + sen²(x) = 1


Muitas vezes, a equação fica mais simples de resolver se usarmos as identidades acima.

Sendo assim, vamos resolver a equação usando a identidade  (i):

     sen²(x) = 0

     (1/2) · [1 – cos(2x)] = 0

     1 – cos(2x) = 0

     cos(2x) = 1


e como  1 = cos(0),  a equação fica

     cos(2x) = cos(0)


Acima temos uma igualdade entre cossenos. Resolvendo, devemos ter então

     2x = ± 0 + k · 2π

     2x = k · 2π


Dividindo ambos os lados por  2, obtemos

    x = k · π          ✔

com  k  inteiro.


Conjunto solução:  S = {x ∈ ℝ:   x = k · π,   com  k  inteiro}.

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b)  sen(3x) = 1

como  1 = sen(π/2),  a igualdade fica

     sen(3x) = sen(π/2)


Acima temos uma igualdade entre senos.  Ângulos suplementares têm o mesmo seno. Logo, devemos ter

     3x = π/2 + k · 2π     ou      3x = π – (π/2) + k · 2π

     3x = π/2 + k · 2π     ou      3x = π/2 + k · 2π


as duas sentenças acima são exatamente a mesma:

     3x = π/2 + k · 2π


Divida os dois lados por  3:

     x = π/6 + k · 2π/3


Reduza os termos do lado direito ao mesmo denominador:

     x = π/6 + k · 4π/6


Coloque  π/6  em evidência:

     x = π/6 · (1 + k · 4)

     x = π/6 · (4k + 1)          ✔


Conjunto solução:   S = {x ∈ ℝ:  x = π/6 · (4k + 1),  com  k  inteiro}.


Bons estudos! :-)