Question

O 10 termo de uma progressão aritmética é 111 e o produto entre os 2 primeiros termos é 276. Se todos os termos dessa progressão são números inteiros, então sua razão é igual a:

Answer 1

$\mathrm{a_{10}=111\ \to\ a_1+9r=111\ \to\ a_1=111-9r}\\\\ \mathrm{a_1.a_2=276\ \to\ a_1(a_1+r)=276}\\ \mathrm{(111-9r)(111-9r+r)=276\ \to\ (111-9r)(111-8r)=276}\\ \mathrm{111^2-111.8r-111.9r+9r.8r=276}\\ \mathrm{111^2-111.17r+72r^2=276\ \to\ 72r^2-1887r+12321=276}\\ \mathrm{72r^2-1887r+12321-276=0\ \to\ 72r^2-1887r+12045=0}$

$\mathrm{r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-1887)\pm\sqrt{(-1887)^2-4.72.12045}}{2.72}=}\\\\ \mathrm{=\dfrac{1887\pm\sqrt{3.560.769-3.468.960}}{144}=\dfrac{1887\pm\sqrt{91.809}}{144}=}\\\\ \mathrm{=\dfrac{1887\pm303}{144}=\dfrac{629\pm101}{48}=\boxed{\mathrm{15,2083...}}\ \ ou\ \ \boxed{\mathrm{11}}}\\\\\\ \boxed{\boxed{\mathbf{r=11}}}$