Question

Um retângulo encontra-se inscrito em um semicírculo de raio=1m, como indica a figura a seguir. Encontre as dimensões do retângulo de maior área. Determine uma função real (Sua lei de associação e o seu domínio) que expresse a área do retângulo em termos de x (metade da medida da base do retângulo)

Answer 1

x² + y² = 1²
y² = 1 - x²
y = √(1 - x²)
S = 2xy
S = 2x√(1 - x²)
S' = 2[√(1 - x²) + x (__-2x____]
                            2_________
                                √(1 - x²)
S' = 2[√(1 - x²) - ____x²__]
                            √(1 - x²)
S' = 2[(__1 - x²) - __x²__
                  √(1 - x²)
S' = 2[ 1 - 2x²]_
           √1 - x²
S' = _2 - 4x²_
        √ 1 - x²
o máximo será obtido igualando a derivada à zero
então
_2 - 4x²_ = 0
√ (1 - x²)
2 - 4x² = 0
4x² = 2
x² = _1_
         2
x = _1_ ⇒ x = _√2_
       √2              2
y = √( 1 - _1_)
                 2
y = _√2_
         2
então a área máxima será quando o retângulo tiver medidas do comprimento para "2x" =  2_√2_ = √2 e largura "y" = _√2_
                                               2                                      2
no que tange à lei de Associação a função é justamente a derivada acima achada de Domínio informado como abaixo
1 - x² > 0 ⇒ -x² > -1 ⇒ x² < 1 ⇒ x < 1