Question

determine o ponto equidistantes de A(0,1) e B(4,-1) cuja ordenada e o triplo da abscissa

Answer 1

I - Temos os pontos:

A = (0,1)
B = (4,-1)
C = (x,3x)

A distância entre AC e BC devem ser iguais, vamos apenas calcular a distância entre AC e BC e igualar os resultados:

$d_{AC}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} \\ \\ d_{AC}=\sqrt{(x-0)^{2}+(3x-1)^{2}} \\ \\ d_{AC}=\sqrt{x^{2}+(3x-1)(3x-1)} \\ \\ d_{AC}=\sqrt{x^{2}+9x^2-6x+1} \\ \\ d_{AC}=\sqrt{10x^2-6x+1}$

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$d_{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} \\ \\ d_{BC}=\sqrt{(x-4)^{2}+(3x-(-1))^{2}} \\ \\ d_{BC}=\sqrt{(x-4)(x-4)+(3x+1)(3x+1)} \\ \\ d_{BC}=\sqrt{x^{2}-8x+16+9x^2+6x+1} \\ \\ d_{BC}=\sqrt{10x^2-2x+17}$

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$d_{AC}=d_{BC}\\ \\ \sqrt{10x^2-6x+1}=\sqrt{10x^2-2x+17} \\ \\ 10x^2-6x+1=10x^2-2x+17 \\ \\ 10x^2-10x^2-6x+2x+1-17=0 \\ \\ -6x+2x+1-17=0 \\ \\ -4x-16=0 \\ \\ -4x=16 \\ \\ x=\frac{16}{-4} \\ \\ x=-4$

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$C=(x,3x) \\ \\ C=(-4,3.(-4)) \\ \\ C=(-4,-12)$

Answer 2

Boa tarde Ricardo

o ponto equidistante é da forma P(x,3x)

PA = P - A = (x - 0, 3x - 1) 
PB = P - B = (x - 4, 3x + 1) 

lAPl² = x² + 9x²  - 6x + 1 = 10x² - 6x + 1
lPBl² = x² - 8x + 16 + 9x² + 6x + 1 = 10x² - 2x + 17 

-6x + 1 = -2x + 17
6x - 1 = 2x - 17
4x = -16

P(-4,-12)