Question

Sabendo que Sen (X) = 5/7 e X ∈ 2° Quadrante . Calcule Tg(2x)

PF demonstre

Answer 1

Olá,

sen(x) = 5/7

Para calcular tg2x, sabendo que tgx = senx/cosx, utilizamos tg2x = sen2x/cos2x

Para sen2x, temos:
sen(x + x) = senx*cosx + senx*cosx
sen2x = 2senx*cosx

cos(x + x) = cosx*cosx - senx*senx
cos2x = cos²x - sen²x

Dizemos que cos²x, pela relação fundamental da trigonometria, é 1 - sen²x. Então:
cos2x = 1 -  sen²x - sen²x
cos2x = 1 - 2sen²x

Para calcular o sen2x, sabendo que senx = 5/7, usamos a relação fundamental para encontrar cosx:
sen²x + cos²x = 1
(5/7)² + cos²x = 1
25/49 + cos²x = 1
cos²x = 1 - 25/49
cos²x = 24/49
cosx = 2√6/7

Como é o segundo quadrante, cosx é negativo. Logo: cosx = -2√6/7

Para sen2x, temos:
sen2x = 2*(5/7)*(-2√6/7)
sen2x = -20√6/49

Para cos2x, temos:
cos2x = 1 - 2sen²x
cos2x = 1 - 2*(5/7)²
cos2x = 1 - 2*(25/49)
cos2x = 1 - 50/49
cos2x = -1/49

Temos, por fim, a tg2x:
tg2x = sen2x/cos2x
tg2x = (-20√6/49)/(-1/49)
tg2x = (-20√6/49)*(-49)
tg2x = 20√6

Bons estudos :)