Question

Calcule a medida da área da região delimitada pela curva y=coshx ,pelo eixo dos y e pela reta y = (e²+1)/(2e) .

Answer 1

Sabemos que:

$cosh(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$

Logo os pontos de intersecção entre a curva e reta:

$\dfrac{e^x + e^{-x}}{2} = \dfrac{e^2 +1}{2e} \to (e^x + e^{-x})e = e^2 + 1 \\ \\ e^{x + 1} + e^{1 - x} = e^2 + 1 \\ \\ e^{x+1} = e^2 \to x = 1 \\ e^{1-x} = e^2 \to x = -1$

Logo temos que a área:

$A = \int\limits^1_0 { \dfrac{e^2 +1}{2e}} \, dx - \int\limits^1_0 { \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} } \, dx$

Logo:

$\int { \dfrac{e^2 +1}{2e}} \, dx = \dfrac{e^2+1}{2e}x \\ \\ \\ \int { \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} } \, dx = \frac{1}{2} \int { e^x + e^{-x} } \, dx = \frac{1}{2} \int {e^x} \, dx + \frac{1}{2} \int {e^{-x}} \, dx \\ \\ \int {e^x} \, dx =e^x \\ \\ \int {e^{-x}} \, dx \to u = -x \to du = -1dx \to dx = \frac{du}{-1} \\ \\ \int {e^{u}} \, \frac{du}{-1} = - \int {e^{u}} \, du = - e^u = - e^{-x}$

$\frac{1}{2} \int {e^x} \, dx + \frac{1}{2} \int {e^{-x}} \, dx = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = sinh(x)$

Logo a área:

$A = \int\limits^1_0 { \dfrac{e^2 +1}{2e}} \, dx - \int\limits^1_0 { \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} } \, dx \\ \\ \\ A = \left ( \dfrac{e^2 + 1}{2e} x - \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \right) \limits^1_0 \\ \\ \\ A = \left (\dfrac{e^2 + 1}{2e} - 0 \right )- \left (\dfrac{e^1 - e^{-1}}{2} - 0 \right) \\ \\ \\ A = \dfrac{e^2 + 1}{2e} - \dfrac{e - \frac{1}{e} }{2} \\ \\ \\ A = \dfrac{e^2 + 1}{2e} - \dfrac{ \frac{e^2 - 1}{e} }{2} \to A = \dfrac{e^2 + 1}{2e} - \dfrac{e^2 - 1}{2e}$

$A = \dfrac{e^2 + 1}{2e} - \dfrac{e^2 - 1}{2e} \to A = \dfrac{e^2 + 1 - e^2 + 1}{2e} \to A = \frac{1}{e} \approx 0,368~ u.a$