Question

Determine as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(2,1,-3) e é paralela ao vetor = (3,-2,2), identifique um outro ponto desta reta e verifique se o ponto B(5/2, 4, 15/2) pertence a reta.

Answer 1

Chamemos de $r$ a reta em questão. $r$ é paralela ao vetor $v=(3,-2,2)$. Além disso, o ponto $A=(2, 1, -3)$∈$r$.
A partir disso, podemos utilizar $P=(x, y, z)$, tal que $P$∈$r$. 
Como $P$∈$r$, o vetor $AP$ é paralelo a reta $r$,ou seja, o vetor $AP$ é paralelo ao vetor $v$.
Sendo assim, 
$AP=tv$, onde $t$∈$\mathbb{R}$.
$AP=P-A=(x, y, z)-(2, 1, -3)=(x-2, y-1, z+3).$
$(x-2, y-1, z+3)=t(3, -2, 2)\\ \\ x-2=3t\\ y-1=-2t\\ z+3=2t \\ \\ \left\{\begin{array}{lll}x=2+3t\\y=1-2t\\z=-3+2t\end{array}\right$

As equações são as equações paramétricas.Para identificar outro ponto basta escolher um valor qualquer para $t$ e substituir nas equações. Além disso, para verificar se o ponto pertence a reta, basta igualar cada componente do ponto com a equação correspondente e se o valor de t encontrado for o mesmo, o ponto pertence à reta.