Question

(UEPG 2017) Dada a equação x^2 + y^2 – 4x + 6y – 36 = 0.
Considerando que p é o maior valor possível de x e q o maior
valor possível de y, assinale o que for correto.

01) p – 3q < 0
02) 2p – 4q = 2
04) p + q é um número primo.
08) 2p + q > 0

Answer 1

Olá Nabouvier.



A equação dada representa uma circunferência, onde sua equação geral tem o seguinte formato:


$\mathsf{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$


Vamos fatora-la e encontrar sua coordenada e seu raio.


$\mathsf{x^2+y^2-4x+6y-36=0}\\\\\\\mathsf{x^2-4x+y^2-6y-36=0}\\\\\\\mathsf{x^2-2\cdot2\cdot x+y^2-2\cdot3\cdot y-36=0}$


Some 2² e 3² em ambos os lados


$\mathsf{x^2-2\cdot2\cdot x+y^2-2\cdot3\cdot y-36+2^2+3^2=2^2+3^2}\\\\\\\mathsf{x^2-2\cdot2\cdot x+2^2+y^2-2\cdot3\cdot y+3^2=36+2^2+3^2}\\\\\\\mathsf{(x-2)^2+(y-3)^2=36+4+9}\\\\\\\mathsf{(x-2)^2+(y-3)^2=49}\\\\\\\mathsf{(x-2)^2+(y-3)^2=7^2}$


Um número elevado ao quadrado jamais retorna um valor negativo. Então tanto (x - 2)² quanto (y - 3)², não podem ser maiores que 7².

O valor máximo de (x - 2)² e (y - 3)², será quando eles forem exatamente igual a 7².

Igualando cada parcela a 7².


$\mathsf{(x-2)^2=7^2}\\\\\\\mathsf{\sqrt{(x-2)^2}=\pm\sqrt{7^2}}\\\\\\\mathsf{x-2=\pm7}\\\\\\\mathsf{x'=7+2=9}\\\\\\\mathsf{x"=-7+2=-5}$


Como 9 é maior que -5, p será igual a 9.

Agora igualando (y - 3)² a 7².


$\mathsf{\sqrt{(y-3)^2}=\sqrt{7^2}}\\\\\\\mathsf{y-3=\pm7}\\\\\\\mathsf{y'=7+3=10}\\\\\\\mathsf{y"=-7+3=-4}$


Como 10 é maior que -4, q será igual a 10.

Vamos verificar agora cada alternativa.


1 - 

$\mathsf{p-3q\ \textless \ 0}\\\\\\\mathsf{9-3\cdot10\ \textless \ 0}\\\\\\\mathsf{9-30\ \textless \ 0}\\\\\\\mathsf{-21\ \textless \ 0~\checkmark}$

Verdadeiro !

2 - 

$\mathsf{2p-4q=2}\\\\\\\mathsf{2\cdot9-4\cdot10=2}\\\\\\\mathsf{18-40=2}\\\\\\\mathsf{-22=2~(Absurdo!)}$

Falso!

3 - 

p + q é um número primo?


$\mathsf{p+q}\\\\\\\mathsf{9+10=19}$

Verdadeiro! 

5 - 

$\mathsf{2p+q\ \textgreater \ 0}\\\\\\\mathsf{2\cdot9+10\ \textgreater \ 0}\\\\\\\mathsf{18+10\ \textgreater \ 0}\\\\\\\mathsf{28\ \textgreater \ 0~\checkmark}$

Verdadeiro!


Dúvidas? comente.

Answer 2

Resposta:

01,02,04,08

Explicação passo-a-passo:

Não faço

a menor ideia mas esta marcado a 02 no gabarito