Question

O esquema a seguir representa um prisma hexagonal regular de base ABCDEF, com todas as arestas congruentes, e uma pirâmide triangular regular de base ACE e vértice G.

Sabe-se que os dois sólidos têm o mesmo volume e que a altura h da pirâmide mede 12 cm.
A medida da aresta do prisma, em centímetros, é igual a:

(A) 1,5
(B)$\sqrt{3}$
(C) 2
(D) $2 \sqrt{3}$

Answer 1

Observe o anexo !

Os dois poliedros têm bases regulares, então ambas as bases são equiláteras.

Lei do cosseno genérica : 

a² = b² + c² - 2*b*c*cos(Â)

(cos(Â) = cosseno do ângulo oposto ao lado 'a') :

Um hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros.

Seja Lh a medida dos lados da base do prisma (lado do hexágono) e Lp a medida dos lados da base da pirâmide (lado do triângulo equilátero inscrito).
_____________________________________________________________

Veja o triângulo vermelho e azul do desenho. Do desenho, temos :

'a' = Lp;
'b' e 'c' = Lh;
cos(Â) → (60° + 60°) = 120° e cos(120°) = -1/2...

Lp² = Lh² + Lh² - 2 * Lh * Lh * cos(120°) 

Lp² = 2 * Lh² - 2 * Lh² * -(1/2)

Lp² = 2 * Lh² + Lh²

Lp² = 3 * Lh² ⇒ Relação entre os lados das bases !
_____________________________________________________________

Como o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros. então, sendo Lh a medida de seus lados (e consequentemente dos Δ):

A(hex) = 6 * A(teq)

A(hex) ⇒ Área do hexágono de lados Lh;
A(teq)  ⇒ Área do triângulo equilátero de lado Lh.

Sendo A(teq) = Lh² * √3 / 4 :

A(hex) = 6 * Lh² * √3 / 4
A(hex) = 3 * Lh² * √3 / 2 ⇒ Área do hexágono regular !

A área da base do prisma (Ab(prisma)) é essa área desse hexágono regular :

Ab(prisma) = A(hex)

Ab(prisma) = 3 * Lh² * √3 / 2...
________________________________________________________

A área da base da pirâmide (Ab(pir) é a área do triângulo equilátero de lado Lp.

Ab(pir) = Lp² * √3 / 4 ⇒ Lp² = 3 * Lh² :

Ab(pir) = 3 * Lh² * √3 / 4.
_____________________________________________________________

Comparando as duas áreas das bases ⇒

Ab(prisma) = 3 * Lh² * √3 / 2;
Ab(pir) = 3 * Lh² * √3 / 4...

Logo, Ab(prisma) = 2 * Ab(pir) ⇒ Relação entre as bases dos polígonos !
_____________________________________________________________

V(prisma) = Ab(prisma) * H(prisma)

V(prisma) ⇒ Volume do prisma;
Ab(prisma) ⇒ Área da base do prisma;
H(prisma) ⇒ Altura do prisma...

Sendo ⇒
Ab(prisma) =  2 * Ab(pir);
H(prisma) = Lp (lado do prisma) → Prisma com todos os lados congruentes...

V(prisma) = 2 * Ab(pir) * Lp...
_____________________________________________________________

V(pir) = Ab(pir) * H(pir) / 3

V(pir) ⇒ Volume da pirâmide;
Ab(pir) ⇒ Área da base da pirâmide;
H(pir) ⇒ Altura da pirâmide...

Sendo ⇒
H(pir) = 12 cm...

V(pir) = Ab(pir) * 12 / 3

V(pir) = 4 * Ab(pir)
_____________________________________________________________

Como os sólidos têm o mesmo volume, V(prisma) = V(pir) :

V(prisma) = V(pir)

2 * Ab(pir) * Lp = 4 * Ab(pir) ⇒ "Cortando" :

2 * Lp = 4

Lp = 4 / 2

Lp = 2 cm ⇒ Lado (aresta) do prisma, logo alternativa "(C)" !

Answer 2

dá para fazer sem Lei dos cossenos

V. do triângulo = V. prisma

(vai precisar saber a fórmula da área do triângulo equilátero)

a área da base do prisma hexagonal é a área de 6 triângulos equiláteros

H(hex) = aresta do prisma hexagonal regular, mas que tbm é a MEDIDA DA ARESTA

1/3 *  $\frac{l^2 \sqrt{3} }{4}$ * 12 = 6 * $\frac{l^2 \sqrt{3} }{4}$  * H(hex)

agora é só passar para o outro lado calcular e sair cortando

2 = H(hex)

H(hex) = aresta do prisma hexagonal = 2