Question

quais valores de x para que os pontos a(x,2) e b(3,5) e c(1,0) sao vertices de um triangulo

Answer 1

Para que A, B e C sejam vértices de um triângulo, os vetores $AB$ e $AC$ tem que ser Linearmente Independentes. Podemos calcular $AB$ e $AC$:
$AB=B-A=(3, 5)-(x, 2)=(3-x, 5-2)=(3-x, 3).$
$AC=C-A=(1,0)-(x, 2)=(1-x, 0-2)=(1-x, -2).$
Para que esses vetores sejam LI, $\nexists k\in \mathbb{R}; AB=kAC.$, 
$AB=kAC\\ (3-x, 3)=k(1-x, -2)$. Daqui podemos retirar um sistema:
$3-x=k(1-x) \Leftrightarrow k=\frac{3-x}{1-x} \\ 3=-2k \Leftrightarrow k=\frac{-3}{2}$. Para que a condição de ser LI seja válida, o sistema não pode ter solução. Então, $k$ não pode ter o mesmo valor. Assim: 
$\frac{3-x}{1-x} \neq \frac{-3}{2}\\ \\ 2(3-x) \neq -3(1-x)\\ \\ 6-2x \neq -3+3x\\ -2x-3x \neq -3-6\\ -5x \neq -9\\ x \neq \frac{9}{5}.$