Question

(FUVEST) Determine todas as soluções da equação (2 cos^2 +3 sen)(cos^2-sen^2)=0 que estão no intervalo 0 < x <2pi

Answer 1

Pela Relação Fundamental da Trigonometria,temos que:

sen²x+cos²x=1 => cos²x=1-sen²x

Seja a equação trigonométrica:

(2cos²x+3senx)(cos²x-sen²x)=0

Substituindo cos²x:

(2(1-sen²x)+3senx)(1-sen²x-sen²x)=0

(2-2sen²x+3senx)(1-2sen²x)=0

Seja y=senx.Assim:

(2-2y²+3y)(1-2y²)=0

Isso implica que:

I.2-2y²+3y=0 => 2y²-3y-2=0

Δ=9+16=25 => √Δ=5

Suponha y',y' as raízes:

y'=(3+5)/4=2
y"=(3-5)/4 = -1/2

II.1-2y²=0 => y²=1/2 <=> y=+-√2/2

Portanto,temos que:

III.senx=2 (impossível,pois senx ∈ [-1,1])

IV.senx= -1/2

V.senx=+-√2/2

Os ângulos que satisfazem (IV) ou (V) contidos em (0,2π) são:

7π/6,11π/6,π/4,3π/4,5π/4,7π/4 <--- estas são as soluções em (0,2π)

Answer 2

Resposta:

7π/6,11π/6,π/4,3π/4,5π/4,7π/4

minha solução segue a de  paulomathematikus. Porém, explicarei de outro jeito:

(2cos²x +3senx)(cos²x-sen²x)=0 pode ser separada em duas equações, ambas igualando a zero.

2cos²x+3senx=0

(substituindo cos² por 1-sen² conforme a identidade cos²+sen²=1):

2(1-sen²x)+3sen=0

-2sen²x+3senx+2=0

sen'x=-1/2  ̶s̶e̶n̶'̶'̶x̶=̶2̶  (desconsidere "senx=2" porque seno precisa estar entre -1 e 1)

logo x = (7π/6; 11π/6)

agora partindo para a segunda equação:

cos²x-sen²x=0

cos²x-(1-cos²x)=0

cos²x-1+cos²x=0

cosx = +/- $\sqrt[]{\frac{1}{2}}$

cosx = +/- $\frac{\sqrt{2}}{2}$

logo x = (π/4; 3π/4; 5π/4; 7π/4)

junta-se os valores de x das duas equações em um único conjunto e obtenha a resposta