Question

2) Verifique se as funções dadas constituem-se soluções das respectivas Equações Diferenciais

A) y''-y=0; sendo y=e^t

B) y''-y=0; soluções: y=e^x

C) x³y'''+x²y''-1=0 solução: y= lnx

D) y= e^3x, e a solução de y''-5y'+6y=0

Answer 1

A)
$y''-y=\left(e^{t}\right)''-e^t=e^t-e^t=0$
é solução

B)
$y''-y=\left(e^{x}\right)''-e^x=e^x-e^x=0$
é solução

C)
$\displaystyle x^3y'''+x^2y''-1=x^3\left(\ln x\right)'''+x^2\left(\ln x\right)''-1=x^3\left(\frac{2}{x^3}\right)+x^2\left(\frac{-1}{x^2}\right)\\\\~~-1=2-1-1=0$
é solução

D)
$y''-5y'+6y=\left(e^{3x}\right)'''-5\left(e^{3x}\right)'+6\left(e^{3x}\right)=9e^{3x}-15e^{3x}+6e^{3x}\\\\=15e^{3x}-15e^{3x}=0$
é solução

Answer 2

Verificando se as funções dadas constituem soluções das equações diferenciais, é obtido que:

A) y = $e^t$ é solução.

B) y = $e^x$ é solução.

C) y = ln(x) solução.

D) y = $e^{3x}$ é solução.

Equação Diferencial

Uma equação diferencial é, basicamente, uma equação formada por derivadas.

Para determinar se uma dada função y é solução da equação, basta aplicá-la na equação, realizar as operações (derivadas, somas, subtrações e multiplicações) e verificar se a igualdade é verdadeira.

Algumas derivadas básicas são:

$y = e^x -->y' = e^x\\y = x^m --> y' = m*x^{m-1}\\y=ln x-->y'=\frac{1}{x} \\y=e^{ax}-->y'=a*e^{ax}$

A) Dada a equação y''-y=0, para verificar se y = $e^t$ é solução, deve ser feito:

$(e^t)''-e^t=0-->(e^t)'-e^t=0-->e^t-e^t = 0 --> 0 = 0$

Logo, essa função é solução.

B) Para a equação y''-y = 0, deve ser verificado se  y = $e^x$ fazendo:

 $(e^x)''-e^x=0-->(e^x)'-e^x=0-->e^x-e^x = 0 --> 0 = 0$

C) Para a equação  x³y''' + x²y'' - 1 = 0, verifica-se se y = ln(x) é solução da equação fazendo:

$x^3*(lnx)'''+x^2*(lnx)''-1=0-->x^3*(\frac{1}{x} )''+x^2*(\frac{1}{x} )'-1=0$

Continuando as operações,

$x^3*(x^{-1} )''+x^2*(x^{-1} )'-1=0-->x^3*(-x^{-2})'+x^2*(-x^{-2})-1=0-->x^3*2*x^{-3}+x^2*(-x^{-2})-1=0-->2 -1-1=0-->2-2=0-->0=0$

Logo, y = ln (x) é solução.

D) Sendo dada a função y = $e^{3x}$, as suas derivadas são:

$y'=3*e^{3x}\\y''=9*e^{3x}$

Assim, aplicando essa função y na equação diferencial y'' -5y' + 6y = 0, tem-se:

$9*e^{3x}-5*3*e^{3x}+6*e^{3x}=0-->9*e^{3x}-15*e^{3x}+6*e^{3x}=0-->15*e^{3x}-15*e^{3x}=0-->0 = 0$

Portanto, y = $e^{3x}$ é solução da equação.

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