Question

Seja a função quadrática f, definida por f(x) = (m – 1)x2 + 2mx + 3m. Para quais valores de m, a função é estritamente positiva?

Answer 1

Para que uma função quadrática seja estritamente positiva, a parábola não pode tocar o eixo x pois "estritamente positiva" exclui o 0. 
Assim, 
Δ= b²-4ac
Δ= (2m)²-4.(m-1).3m
Δ= -8m²+12m 
Assim, temos que essa expressão deve ser maior que 0
-8m²+12m > 0
Para resolver, devemos achar onde é igual a zero 
Por baskhara, temos que isso é igual a 0 para m=0 e m=3/2
Como o a dessa expressão é negativo, a parábola será maior que 0 entre os valores que achamos do m, então, será 0<m<3/2 ( coloquei apenas maior e não maior igual pq é estritamente positivo) 

Answer 2

m - 1 < 0 ⇒ m < 1 [conjunto (A)]
b² - 4ac < 0
(2m)² -4(m - 1)(3m) < 0
4m²- 12m² + 12m  < 0
-8m² + 12m < 0
-2m² + 3m < 0
trata-se de uma parábola côncava para baixo que será negativa para valores exteriores às raízes
então
achando as raízes
m(-2m + 3) = 0
m = 0 ⇒ m' = 0
-2m + 3 =  0 ⇒ m'' = 3/2
então
       m   <  0    ∨   m >  3/2   conjunto[(B)]
                     _______0______ 1___3/2_________ _
  A                |**********|**********|         |
  B                |**********|              |         |**********
A∩B             |**********|              |         |

 Resposta:    V =  {m ∈ R / m < 0}