Question

2)calcule o valor de z^7, sendo z o numero complexo 1+i raizde 3

Answer 1

$z=1+i \sqrt{3} \\ \\ |z|^2=1^2+(\sqrt{3})^2=4==\ \textgreater \ z=2 \\ \\ sen \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ cos\alpha = \frac{ \sqrt{1} }{2} \\ \\ Logo \\ \alpha = \frac{ \pi}{3} rad \\ \\ z=2( cos\frac{ \pi}{3} +isen\frac{ \pi}{3}) \\ \\ z^n=|z|^n(cos (n*\beta) +i sen (n*\beta)) \\ \\ z^7=2^7(cos (7*\frac{ \pi}{3}) +i sen (7*\frac{ \pi}{3})) \\ \\ z^7=128(cos (\frac{ 7\pi}{3}) +i sen (\frac{7 \pi}{3}))$

Answer 2

calcule o valor de z^7, sendo z o numero complexo 1+i raizde 3
                         
                         A              A             A           B
(1+iV3)^7 = (1 + iV3)²(1 + iV3)²(1 + iV3)²(1 + iV3)

A² = (1 + iV3)² =  - 2 + 2iV3 

1 + 2iV3 + i².√3²  => 1 + 2iV3 + (-1).3 => 1 + 2iV3 - 3 ==> - 2 + 2iV3 
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(- 2 + 2iV3)(- 2 + 2iV3)(- 2 + 2iV3 )(1 + iV3) =  A² . A.B
        A             A                 A               B
            

A² =(- 2 + 2iV3)² = - 8 - 8iV3

(- 2)² + 2.(-2)(2iV3) + (2iV3)² = 4 - 8iV3) + 4i²V3² 

4 - 8iV3) - 4.3 => 4 - 8iV3) - 12 ==> - 8 - 8iV3 
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A.B = (- 2 + 2iV3 )(1 + iV3) = - 8

- 2 - 2iV3 + 2iV3 + 2i²V3² ==>  - 2 - 2.3 ==> - 2 - 6 ==> - 8 
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Substituindo no desenvolvimento feito :

                           A               A           A          B  
(1+iV3)^7 = (1 + iV3)²(1 + iV3)²(1 + iV3)²(1 + iV3) ==> A² . A.B

A² . A.B = (- 8 - 8iV3)(-8) ==> 64 + 64iV3) OU 8( 8 + 8iV3)